Rząd (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rząd – w teorii grup pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, a symbol \scriptstyle e będzie oznaczać ich element neutralny.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Rzędem grupy \scriptstyle (G, \cdot) nazywa się moc zbioru \scriptstyle G. Jeżeli \scriptstyle G = \langle g \rangle, tzn. grupa \scriptstyle G jest generowana przez element \scriptstyle g, to rzędem elementu \scriptstyle g nazywa się rząd grupy \scriptstyle G (w szczególności odnosi się to do grupy będącej podgrupą innej). Ponieważ \scriptstyle \langle g \rangle jest grupą cykliczną, to korzystając z jej definicji rząd elementu często określa się w następujący, równoważny sposób: rzędem elementu \scriptstyle g nazywa się najmniejszą dodatnią liczbę naturalną \scriptstyle n, która spełnia \scriptstyle g^n = e. Jeśli taka liczba nie istnieje, to przyjmuje się, że rząd elementu \scriptstyle g jest nieskończony.

Rząd grupy \scriptstyle G oznacza się symbolami \scriptstyle \mathrm{ord}(G), \mathrm o(G) (od ang. order, tu: „rząd”), \scriptstyle \mathrm rz(G), \mathrm r(G) (od „rząd”), bądź \scriptstyle |G|, \#G (oznaczenia mocy zbioru). Rząd elementu \scriptstyle g oznacza się zwykle za pomocą czterech pierwszych z ww. symboli, tzn. \scriptstyle \mathrm{ord}(g), \mathrm o(g), \mathrm rz(g), \mathrm r(g); definicje rzędów elementu i grupy powiązane są zatem następującym wzorem:

\mathrm{ord}(g)\ \overset\underset\mathrm{df}\ =\ \mathrm{ord}\bigl(\langle g \rangle\bigr).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Grupa przekształceń geometrycznych zachowujących trójkąt równoboczny (z pokolorowanymi dla wygody na czerwono, niebiesko i zielono wierzchołkami) składa się z sześciu przekształceń: identyczności, dwóch obrotów (o 120°, 240°) wokół środka tego trójkąta i trzech symetrii o osiach przechodzących przez ustalony wierzchołek i środek trójkąta.
Identyczność (zachowująca kolory) jest elementem rzędu pierwszego; obroty wymagają trzykrotnego przyłożenia, aby uzyskać wyjściowy trójkąt (tzn. układ kolorów sprzed ich zastosowania), są więc elementami rzędu trzeciego; anulowanie symetrii wymaga jej powtórzenia, dlatego są one elementami rzędu drugiego (zamieniają kolory dwóch wierzchołków pozostawiając trzeci niezmienionym).
  • Rząd grupy trywialnej \scriptstyle E wynosi \scriptstyle 1; generowana jest ona przez jedyny jej element \scriptstyle e, stąd \scriptstyle \mathrm{ord}(E) = \mathrm{ord}(e) = 1 i dlatego rząd podgrupy trywialnej, czyli grupy generowanej przez element neutralny, również wynosi \scriptstyle 1. Ponieważ istnieje tylko jedna podgrupa rzędu \scriptstyle 1, to element mający rząd \scriptstyle 1 musi być elementem neutralnym.
  • Grupa symetryczna \scriptstyle S_3 to grupa wszystkich permutacji trójelementowego zbioru; można ją utożsamiać z grupą diedralną \scriptstyle D_3 będącą grupą izometrii własnych trójkąta równobocznego (zob. rysunek obok). Wspomniane grupy mają sześć elementów, zatem \scriptstyle \mathrm{ord}(S_3) = \mathrm{ord}(D_3) = 6. Symetrie osiowe trójkąta równobocznego polegają na zamianie dwóch jego wierzchołków, odpowiada to ich permutacjom będącym transpozycjami – są to elementy rzędu drugiego. Obroty tego trójkąta polegają na cyklicznej zmianie miejscami wszystkich wierzchołków, czyli permutacji cyklicznej zmieniającej każdy z nich – są to elementy rzędu trzeciego.
  • Choć grupy \scriptstyle S_3 i \scriptstyle D_3 mają rząd \scriptstyle 6, to brak w nich elementu o tym rzędzie, jednakże wszystkie elementy w niej zawarte są dzielnikami \scriptstyle 6. Uwaga ta wynika z obserwacji ogólniejszej natury (zob. twierdzenie Lagrange'a). Inną grupą rzędu \scriptstyle 6, o strukturze odbiegającej od struktury powyższych grup (tzn. nieizomorficzna z powyższymi; z dokładnością do izomorfizmu istnieją tylko dwie grupy tego rzędu) jest grupa cykliczna rzędu \scriptstyle 6, która zawiera element tego rzędu.
  • Jeżeli każdy element danej grupy, poza neutralnym, jest rzędu \scriptstyle 2, to dowolne dwa elementy są ze sobą przemienne (grupa jest abelowa)[1]. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – kontrprzykładem może być wyżej wspomniana grupa cykliczna rzędu \scriptstyle 6, która jest abelowa, lecz istnieją w niej elementy rzędu \scriptstyle 3.
  • Jeżeli rząd dowolnego elementu grupy jest skończony, to nazywa się ją grupą torsyjną. Rzędy elementów grupy skończonej są również skończone, zatem każda grupa skończona jest torsyjna; istnieją jednak grupy torsyjne nieskończonego rzędu, np. grupa \scriptstyle \mathbb C^* pierwiastków z jedynki.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Napisy \scriptstyle (n, m) oraz \scriptstyle [n, m] będą oznaczać odpowiednio największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb \scriptstyle n, m.

Kluczową własnością rzędu jest następujący fakt:

\scriptstyle g^k = e wtedy i tylko wtedy, gdy rząd \scriptstyle g jest dzielnikiem \scriptstyle k[2].

Stąd jeśli \scriptstyle g ma rząd \scriptstyle n, to \scriptstyle g^k = g^l dla dowolnych liczb całkowitych \scriptstyle k, l wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle k \equiv l \bmod n[3]. Jeżeli \scriptstyle g jest rzędu \scriptstyle n, to \scriptstyle g^k ma dla dowolnego całkowitego \scriptstyle k rząd \scriptstyle \frac{n}{(k, n)}[4]. Wynikają stąd dwa ważne wnioski: jeśli \scriptstyle g jest rzędu \scriptstyle n oraz \scriptstyle d|n i \scriptstyle d > 0, to \scriptstyle g^d jest rzędu \scriptstyle \frac{n}{d}; jeśli \scriptstyle g jest rzędu \scriptstyle n oraz \scriptstyle g^k ma rząd \scriptstyle n wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle (k, n) = 1[5].

W ogólności niewiele można powiedzieć o rzędzie \scriptstyle gh na podstawie rzędów \scriptstyle g oraz \scriptstyle h[6]. Jeśli jednak elementy te komutują (są przemienne, tzn. \scriptstyle gh = hg), to ich skończony rząd pociąga skończony rząd ich iloczynu[7]. Jeśli rzędy \scriptstyle g i \scriptstyle h są ponadto względnie pierwsze, to rząd ich iloczynu jest iloczynem ich rzędów[8]. Z tej obserwacji wynika, że jeżeli elementy \scriptstyle g rzędu \scriptstyle n oraz \scriptstyle h rzędu \scriptstyle m komutują, to pewien ich iloczyn \scriptstyle g^a h^b ma rząd \scriptstyle [n, m] – ideą stojącą za tym wnioskiem jest zapisanie \scriptstyle [n, m] jako iloczynu dwóch względnie pierwszych czynników i znalezieniu wykładników takich \scriptstyle a, b, by elementy \scriptstyle g^a i \scriptstyle h^b miały rząd równy tym czynników, a ich iloczyn miał rząd równy iloczynowi tych liczb (tu stosuje się poprzednie stwierdzenie), równy z konstrukcji \scriptstyle [n, m][9].

Jeśli dowolne dwa elementy grupy komutują, to grupę nazywa się abelową (przemienną). W skończonej grupie abelowej rzędu \scriptstyle n dla dowolnego elementu \scriptstyle g zachodzi \scriptstyle g^n = e[10]. Z tego faktu oraz „własności kluczowej” wynika bezpośrednio, iż każdy element grupy abelowej skończonego rzędu \scriptstyle n ma rząd dzielący \scriptstyle n. Wniosek ten jest prawdziwy również w przypadku nieprzemiennym: nosi wtedy nazwę twierdzenia Lagrange'a – jego dowód wymaga jednak innych środków; jego pewnym odwróceniem są twierdzenie Cauchy'ego oraz, ogólniejsze, twierdzenia Sylowa.

Ważnym twierdzeniem mówiącym o rzędach elementów grupy multiplikatywnej \scriptstyle \mathbb Z_p^* jest małe twierdzenie Fermata, pomocny jest też wniosek z niego płynący znany jako twierdzenie Eulera.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Ponieważ dla dowolnego elementu \scriptstyle g zachodzi \scriptstyle gg = e, to \scriptstyle ab = (bb)ab(aa) = b(ba)(ba)a = ba.
  2. Niech \scriptstyle n oznacza rząd całej grupy. Jeśli \scriptstyle n|k, to \scriptstyle k = nm dla pewnego \scriptstyle m. Wówczas \scriptstyle g^k = g^{nm} = (g^n)^m = e. W drugą stronę: z twierdzenia o dzieleniu z resztą, przy założeniu, iż \scriptstyle g^k = e, liczbę \scriptstyle k można zapisać w postaci \scriptstyle k = nq + r, przy czym \scriptstyle 0 \leqslant r < n i \scriptstyle r, q są liczbami całkowitymi. Wtedy \scriptstyle e = g^k = (g^n)^q g^r = g^r. Warunek nałożony na \scriptstyle r oraz minimalność \scriptstyle n wynikającą bycia rzędem \scriptstyle g sprawiają, że musi być \scriptstyle r = 0, czyli \scriptstyle k = nq, a więc \scriptstyle n|k.
  3. Wystarczy skorzystać z powyższego faktu zapisując warunek \scriptstyle g^k = g^l w postaci \scriptstyle g^{k - l} = e.
  4. Kluczem do dowodu jest fakt, iż gdy \scriptstyle a|bc oraz \scriptstyle (a, b) = 1, to \scriptstyle a|c. Niech \scriptstyle t będzie rzędem \scriptstyle g^k – należy wtedy wykazać, że \scriptstyle t = \frac{n}{(k, n)}. Ponieważ \scriptstyle g^{kt} = e, to \scriptstyle n|kt na mocy faktu; dzieląc \scriptstyle n i \scriptstyle k przez ich największy wspólny dzielnik, zatem \scriptstyle \frac{n}{(k, n)}\big|\frac{k}{(k, n)}t. Ponieważ \scriptstyle \frac{n}{(k, n)} oraz \scriptstyle \frac{k}{(k, n)} są względnie pierwsze, to \scriptstyle \frac{n}{(k, n)} musi dzielić \scriptstyle t, a więc \scriptstyle \frac{n}{(k, n)} \leqslant t. Nierówność w drugą stronę uzyskuje się zauważając, iż \scriptstyle \left(g^k\right)^{n/(k, n)} = \left(g^n\right)^{k/(k, n)} = e.
  5. Ponieważ \scriptstyle \frac{n}{(k, n)} = n wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle (k, n) = 1.
  6. Przykłady z geometrii płaskiej (zob. grupa euklidesowa): złożenie dwóch przesunięć (rząd nieskończony) o przeciwnych wektorach daje tożsamość (rząd skończony równy 1) – w przeciwnym przypadku daje przesunięcie (rząd nieskończony); złożenie dwóch symetrii osiowych (rząd skończony równy 2) o równoległych osiach jest przesunięciem (rząd nieskończony) – gdy osie są prostopadłe, ich złożenie jest obrotem o kąt półpełny (rząd skończony równy 2).
  7. Jeśli \scriptstyle g^n = e i \scriptstyle h^m = e oraz \scriptstyle gh = hg, to \scriptstyle (gh)^{nm} = g^{nm} h^{nm} = e. Więcej: \scriptstyle [n, m] jest podzielne przez \scriptstyle n jak i \scriptstyle m, tak więc \scriptstyle (gh)^{[n, m]} = g^{[n, m]} h^{[n, m]} = e. Najmniejsza wspólna wielokrotność nie jest tylko ograniczeniem górnym na rząd iloczynu – można ją uzyskać jako rząd pewnego iloczynu ich potęg; patrz dalej.
  8. Jeśli \scriptstyle n = \mathrm{ord}(g) i \scriptstyle m = \mathrm{ord}(h) z powyższej uwagi \scriptstyle gh ma skończony rząd, który dzieli \scriptstyle nm na podstawie faktu z początku sekcji. Wystarczy wykazać, że jeśli \scriptstyle k = \mathrm{ord}(gh), to \scriptstyle n|k i \scriptstyle m|k. Z przemienności \scriptstyle g, h jest \scriptstyle g^k h^k = e, a po podniesieniu obu stron do \scriptstyle m-tej potęgi (w celu zlikwidowania czynnika \scriptstyle h) otrzymuje się \scriptstyle g^{km} = e, skąd \scriptstyle n|km na mocy faktu; ponieważ \scriptstyle (m, n) = 1, to \scriptstyle n|k. Podobnie rugując w powyższej tożsamości czynnik \scriptstyle g uzyskuje się \scriptstyle m|k. Skoro \scriptstyle n|k,\ m|k oraz \scriptstyle (n, m) = 1, to \scriptstyle nm|k, a ponieważ \scriptstyle k|nm (z pierwszej części dowodu), to \scriptstyle k = nm.
  9. Jeśli \scriptstyle n = p_1^{e_1} \dots p_r^{e_r} i \scriptstyle m = p_1^{f_1} \dots p_r^{f_r} są rozkładami tych liczb na czynniki pierwsze (obie liczby mają w rozkładzie ten sam ciąg różnych liczb pierwszych; jeśli dana liczba nie występuje w rozkładzie, to jej wykładnik jest równy zeru), to ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa \scriptstyle [n, m] = p_1^{\max(e_1, f_1)} \dots p_r^{\max(e_r, f_r)}. Niech \scriptstyle k = \prod_{e_i \geqslant f_i} p_i^{e_i} oraz \scriptstyle l = \prod_{e_i < f_i} p_i^{f_i}, wtedy \scriptstyle [n, m] = kl i \scriptstyle (k, l) = 1 (gdyż \scriptstyle k, l nie mają wspólnych czynników pierwszych); zatem, z konstrukcji, \scriptstyle k|n oraz \scriptstyle l|m. Komutujące elementy \scriptstyle g^{n/k}, h^{m/l} mają więc względnie pierwsze rzędy odpowiednio równe \scriptstyle k, l, dlatego ich iloczyn ma rząd \scriptstyle kl = [n, m].
  10. Jeśli \scriptstyle G = \left\{g_1, \dots, g_n\right\}, to odwzorowanie \scriptstyle G \to G dane wzorem \scriptstyle g_i \mapsto gg_i jest funkcją różnowartościową, a ze skończoności \scriptstyle G musi być również „na”; wynika stąd, że \scriptstyle \scriptstyle \left\{gg_1, \dots, gg_n\right\} jest tylko (potencjalnie) innym uporządkowaniem elementów grupy \scriptstyle G. Porównując iloczyn elementów z obu przedstawień otrzymuje się \scriptstyle g_1 \dots g_n = (gg_1) \dots (gg_n) = g^n(g_1 \dots g_n), skąd \scriptstyle g^n = e. Choć teza obowiązuje również w przypadku nieprzemiennym, to dowód ten jest wtedy niepoprawny.