Rząd (teoria grup)

Rząd – w teorii grup pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, a symbol $\scriptstyle e$ będzie oznaczać ich element neutralny.

Definicja

Rzędem grupy $\scriptstyle (G, \cdot)$ nazywa się moc zbioru $\scriptstyle G.$ Jeżeli $\scriptstyle G = \langle g \rangle,$ tzn. grupa $\scriptstyle G$ jest generowana przez element $\scriptstyle g,$ to rzędem elementu $\scriptstyle g$ nazywa się rząd grupy $\scriptstyle G.$ Ponieważ $\scriptstyle \langle g \rangle$ jest grupą cykliczną, to korzystając z jej definicji rząd elementu często określa się w następujący, równoważny sposób: rzędem elementu $\scriptstyle g$ nazywa się najmniejszą dodatnią liczbę naturalną $\scriptstyle n,$ która spełnia $\scriptstyle g^n = e.$ Jeśli taka liczba nie istnieje, to przyjmuje się, że rząd elementu $\scriptstyle g$ jest nieskończony.

Rząd grupy $\scriptstyle G$ oznacza się symbolami $\scriptstyle \mathrm{ord}(G), \mathrm o(G)$ (od ang. order, tu: „rząd”), $\scriptstyle \mathrm rz(G), \mathrm r(G)$ (od „rząd”), bądź $\scriptstyle |G|, \#G$ (oznaczenia mocy zbioru). Rząd elementu $\scriptstyle g$ oznacza się zwykle za pomocą czterech pierwszych z ww. symboli, tzn. $\scriptstyle \mathrm{ord}(g), \mathrm o(g), \mathrm rz(g), \mathrm r(g);$ definicje rzędów elementu i grupy powiązane są zatem następującym wzorem:

$\mathrm{ord}(g)\ \overset\underset\mathrm{df}\ =\ \mathrm{ord}\bigl(\langle g \rangle\bigr).$

Przykłady

Grupa przekształceń geometrycznych zachowujących trójkąt równoboczny (z pokolorowanymi dla wygody na czerwono, niebiesko i zielono wierzchołkami) składa się z sześciu przekształceń: identyczności, dwóch obrotów (o 120°, 240°) wokół środka tego trójkąta i trzech symetrii o osiach przechodzących przez ustalony wierzchołek i środek trójkąta.
Identyczność (zachowująca kolory) jest elementem rzędu pierwszego; obroty wymagają trzykrotnego przyłożenia, aby uzyskać wyjściowy trójkąt (tzn. układ kolorów sprzed ich zastosowania), są więc elementami rzędu trzeciego; anulowanie symetrii wymaga jej powtórzenia, dlatego są one elementami rzędu drugiego (zamieniają kolory dwóch wierzchołków pozostawiając trzeci niezmienionym).

• Rząd grupy trywialnej $\scriptstyle E$ wynosi $\scriptstyle 1.$ Grupa ta generowana jest przez $\scriptstyle e,$ jedyny jej element; stąd $\mathrm{ord}(E) = \mathrm{ord}(e) = 1$ i dlatego rząd podgrupy trywialnej (tj. grupy generowanej przez element neutralny) wynosi również $\scriptstyle 1.$ Ponieważ istnieje tylko jedna podgrupa rzędu $\scriptstyle 1,$ to element mający rząd $\scriptstyle 1$ musi być elementem neutralnym.
• Grupa symetryczna $\scriptstyle S_3$ to grupa wszystkich permutacji trójelementowego zbioru; można ją utożsamiać z grupą diedralną $\scriptstyle D_3$ będącej grupą izometrii własnych trójkąta równobocznego. Wspomniane grupy mają sześć elementów, zatem $\scriptstyle \mathrm{ord}(S_3) = \mathrm{ord}(D_3) = 6.$ Symetrie osiowe trójkąta równobocznego polegają na zamianie dwóch jego wierzchołków, odpowiada to ich permutacjom będącym transpozycjami – są to elementy rzędu drugiego. Obroty tego trójkąta polegają na cyklicznej zmianie miejscami wszystkich wierzchołków, czyli permutacji cyklicznej zmieniającej każdy z nich – są to elementy rzędu trzeciego.
• Choć grupy $\scriptstyle S_3$ i $\scriptstyle D_3$ mają rząd $\scriptstyle 6,$ to brak w nich elementu o tym rzędzie, jednakże wszystkie elementy w niej zawarte są dzielnikami $\scriptstyle 6.$ Uwaga ta wynika z obserwacji ogólniejszej natury (zob. twierdzenie Lagrange'a). Inną grupą rzędu $\scriptstyle 6,$ o strukturze odbiegającej od struktury powyższych grup (tzn. nieizomorficzna z powyższymi; z dokładnością do izomorfizmu istnieją tylko dwie grupy tego rzędu) jest grupa cykliczna rzędu $\scriptstyle 6,$ która zawiera element tego rzędu.
• Jeżeli każdy element danej grupy, poza neutralnym, jest rzędu $\scriptstyle 2,$ to dowolne dwa elementy są ze sobą przemienne (grupa jest abelowa). Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – kontrprzykładem może być wyżej wspomniana grupa cykliczna rzędu $\scriptstyle 6,$ która jest abelowa, lecz istnieją w niej elementy rzędu $\scriptstyle 3.$
• Jeżeli rząd dowolnego elementu grupy jest skończony, to nazywa się ją grupą torsyjną. Rzędy elementów grupy skończonej są również skończone, zatem każda grupa skończona jest torsyjna; istnieją jednak grupy torsyjne nieskończonego rzędu, np. grupa $\scriptstyle \mathbb C^*$ pierwiastków z jedynki.

Własności

Napisy $\scriptstyle (n, m)$ oraz $\scriptstyle [n, m]$ będą oznaczać odpowiednio największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $\scriptstyle n, m.$

Kluczową własnością rzędu jest następujący fakt: $\scriptstyle g^k = e$ wtedy i tylko wtedy, gdy rząd $\scriptstyle g$ jest dzielnikiem $\scriptstyle k$. Wynika stąd, że jeśli $\scriptstyle g$ ma rząd $\scriptstyle n,$ to $\scriptstyle g^k = g^l$ dla dowolnych liczb całkowitych $\scriptstyle k, l$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle k \equiv l \bmod n$. Jeżeli $\scriptstyle g$ jest rzędu $\scriptstyle n,$ to $\scriptstyle g^k$ ma dla dowolnego całkowitego $\scriptstyle k$ rząd $\scriptstyle \frac{n}{(k, n)}$. Wynikają stąd dwa ważne wnioski: jeśli $\scriptstyle g$ jest rzędu $\scriptstyle n$ oraz $\scriptstyle d|n$ i $\scriptstyle d > 0,$ to $\scriptstyle g^d$ jest rzędu $\scriptstyle \frac{n}{d};$ jeśli $\scriptstyle g$ jest rzędu $\scriptstyle n$ oraz $\scriptstyle g^k$ ma rząd $\scriptstyle n$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle (k, n) = 1$.

W ogólności niewiele można powiedzieć o rzędzie $\scriptstyle gh$ na podstawie rzędów $\scriptstyle g$ oraz $\scriptstyle h$. Jeśli jednak elementy te komutują (są przemienne, tzn. $\scriptstyle gh = hg$), to ich skończony rząd pociąga skończony rząd ich iloczynu. Jeśli rzędy $\scriptstyle g$ i $\scriptstyle h$ są ponadto względnie pierwsze, to rząd ich iloczynu jest iloczynem ich rzędów. Z tej obserwacji wynika, że jeżeli elementy $\scriptstyle g$ rzędu $\scriptstyle n$ oraz $\scriptstyle h$ rzędu $\scriptstyle m$ komutują, to pewien ich iloczyn $\scriptstyle g^a h^b$ ma rząd $\scriptstyle [n, m]$ – ideą stojącą za tym wnioskiem jest zapisanie $\scriptstyle [n, m]$ jako iloczynu dwóch względnie pierwszych czynników i znalezieniu wykładników takich $\scriptstyle a, b,$ by elementy $\scriptstyle g^a$ i $\scriptstyle h^b$ miały rząd równy tym czynników, a ich iloczyn miał rząd równy iloczynowi tych liczb (tu stosuje się poprzednie stwierdzenie), równy z konstrukcji $\scriptstyle [n, m]$.

Jeśli dowolne dwa elementy grupy komutują, to grupę nazywa się abelową (przemienną). W skończonej grupie abelowej rzędu $\scriptstyle n$ dla dowolnego elementu $\scriptstyle g$ zachodzi $\scriptstyle g^n = e$. Z tego faktu oraz „własności kluczowej” wynika bezpośrednio, iż każdy element grupy abelowej skończonego rzędu $\scriptstyle n$ ma rząd dzielący $\scriptstyle n.$ Wniosek ten jest prawdziwy również w przypadku nieprzemiennym: nosi wtedy nazwę twierdzenia Lagrange'a – jego dowód wymaga jednak innych środków; jego pewnym odwróceniem są twierdzenie Cauchy'ego oraz, ogólniejsze, (trzy) twierdzenia Sylowa.

Ważnym twierdzeniem mówiącym o rzędach elementów grupy multiplikatywnej $\scriptstyle \mathbb Z_p^*$ jest małe twierdzenie Fermata, pomocny jest też wniosek z niego płynący znany jako twierdzenie Eulera.