Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie

Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie – twierdzenie geometrii euklidesowej.

Twierdzenie

Niech $A,B,C$ będą wierzchołkami wyjściowego trójkąta, $CZ$ jest dwusieczną kąta zewnętrznego. Wówczas

${\frac {AC}{BC}}={\frac {AZ}{BZ}}.$

Dowód 1

Wprowadzono oznaczenia:

$X$ – taki punkt $X$ na $AC,$ że $\Delta XCB$ jest równoramienny: $XC=CB,$

$Y$ – taki punkt $Y$ na $CZ,$ że $\angle CYB=\angle CXB=\angle CBX,$ czyli $XC=CB=BY.$

Trójkąt $\Delta BYZ$ jest podobny do $\Delta ACZ$ stąd:

${\frac {AZ}{BZ}}={\frac {AC}{BY}},$

czyli

${\frac {AZ}{BZ}}={\frac {AC}{BC}},$   co należało dowieść.

Dowód 2

Postępuje się analogicznie, jak w dowodzie twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego poprzez pola trójkątów. Wystarczy zauważyć, że:

$\sin \angle BCZ=\sin \angle ACZ.$

Zobacz też

• twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie