Geometria euklidesowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy rodzaju geometrii. Zobacz też: geometria euklidesowa w ujęciu geometrii analitycznej.
Szkoła Euklidesa w Atenach
(Obraz Raffaello Sanzio, 1509)
Strona z dzieła Elementy

Geometria euklidesowa – klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (z III w. p.n.e.). Zebrał on całą ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym możliwości badania innych odmian geometrii.

Podejście Euklidesa zaowocowało nietypowym przejawem kultury matematycznej starożytnych Greków – twierdzenia geometryczne chętnie dowodzili oni za pomocą cyrkla i liniału, czyli kreśląc okręgi i proste. Ograniczenia te nazywa się dziś konstrukcjami klasycznymi. W 1833 r. udowodniono, że wszystkie takie konstrukcje można wykonać także przy pomocy samych prostych, o ile tylko dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. (twierdzenie Ponceleta-Steinera); co więcej można je wykonać za pomocą samego cyrkla (twierdzenie Mohra-Mascheroniego).

Aksjomaty Euklidesa[edytuj | edytuj kod]

Euclid's postulates.png

W ujęciu tradycyjnym, nazywanym geometrią syntetyczną, geometria euklidesowa przedstawiana jest jako system aksjomatyczny, w którym wszystkie twierdzenia muszą wynikać z aksjomatów, czyli zdań przyjmowanych z góry jako prawdziwe.

W podanym przez siebie systemie Euklides wyróżnił pięć aksjomatów lub pewników płaszczyzny nazywanej później również euklidesową[1]:

  1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
  2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą).
  3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości.
  4. Wszystkie kąty prosteprzystające.
  5. Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony.

Dla geometrii na płaszczyźnie piąty z aksjomatów, tzw. postulat Euklidesa lub postulat równoległości, można sformułować również następująco:

„przez dany punkt nienależący do danej prostej można poprowadzić jedną prostą rozłączną z daną prostą”.

Postulat Euklidesa[edytuj | edytuj kod]

Piąty pewnik spowodował powstanie wielu niejasności – sam Euklides unikał używania go w swym dziele tak długo, jak to było możliwe. Przez blisko 22 stulecia sądzono, że inny niż wszystkie postulat równoległości musi wynikać z pozostałych postulatów. Z tego powodu szukano dowodów potwierdzających tę tezę. W XIX wieku okazało się, że jest on niezależny od pozostałych, a zastąpienie go innymi daje inne spójne geometrie. Dotychczas znaną geometrię nazwano euklidesową, a nowe – nieeuklidesowymi, wśród nich pierwszymi były geometria hiperboliczna oraz eliptyczna. Można je sobie wyobrażać jako geometrie przestrzeni „wypukłych” lub „wklęsłych”, tzn. pierwsza z nich ma krzywiznę ujemną, druga – dodatnią. Geometria euklidesowa to geometria przestrzeni „płaskich”, czyli o krzywiźnie zerowej, z tego powodu nazywa się ją również geometrią paraboliczną (zob. geometria riemannowska).

Inne aksjomatyzacje[edytuj | edytuj kod]

W drugiej połowie XIX w. zauważono również, że aksjomaty podane przez Euklidesa nie są wystarczające do udowodnienia prawdziwości lub fałszywości wszystkich zdań, które można wyrazić w języku tej teorii (tzn. system ten nie był zupełny). W 1882 r. niemiecki matematyk Moritz Pasch podał przykład takiego niedającego się udowodnić twierdzenia i włączył je do systemu jako kolejny aksjomat, tzw. aksjomat Pascha, innymi są np. twierdzenie Desarguesa lub twierdzenie Pascala.

Aksjomatyka Hilberta

Kolejne próby poprawienia systemu aksjomatów geometrii euklidesowej zostały zwieńczone w 1899 r. kompletnym ich zestawem podanym przez Davida Hilberta, który udowodnił jednocześnie niesprzeczność tego systemu. Aksjomatyka Hilberta, licząca pierwotnie 21 aksjomatów, później ograniczona do 20, jest dziś podstawą większości aksjomatycznych ujęć geometrii euklidesowej.

Aksjomatyka Birkoffa i Tarskiego

Powstały również inne systemy geometrii euklidesowej, z których najbardziej znane to aksjomatyka Birkhoffa i aksjomatyka Tarskiego. System stworzony przez Alfreda Tarskiego miał na celu wykazanie rozstrzygalności geometrii euklidesowej. Ostatecznie rozstrzygalność tego modelu została udowodniona przez Wandę Szmielew.

Podejście współczesne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń euklidesowa.

Pojęcia pierwotne ze swej natury nie są formalnie definiowane w języku danej teorii, są po prostu symbolami których własności opisują aksjomaty, założenia budujące podwaliny tej teorii matematycznej. Można jednak stworzyć tzw. model[2] tej teorii, to znaczy zdefiniować takie obiekty matematyczne, które podstawione jako pojęcia pierwotne[3] spełniają wszystkie jej aksjomaty (pewniki Euklidesa[4], czy aksjomaty Hilberta). Aby obiekty te dało się zdefiniować, model musi opierać się na pojęciach spoza modelowanej teorii.

Takim powszechnie dziś przyjmowanym modelem geometrii euklidesowej jest tzw. przestrzeń kartezjańska opierająca się na aparacie analizy matematycznej[5].

Przestrzeń kartezjańska jest szczególnie wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej, gdyż pozwala na sprowadzenie wszelkich twierdzeń geometrycznych do postaci liczbowej, co zwykle upraszcza dowodzenie. Okazuje się zresztą, że aksjomaty Euklidesa nie są wystarczające[6] do rozstrzygnięcia prawdziwości lub fałszywości pewnych twierdzeń (np. twierdzenie Desarguesa oraz twierdzenie Pappusa). Można to jednak zrobić metodami analitycznymi w przestrzeni kartezjańskiej.

Podejście, w którym aksjomaty Euklidesa można udowodnić jako twierdzenia, nosi nazwę geometrii analitycznej. W ten sposób w ujęciu geometrii syntetycznej prosta jest pojęciem pierwotnym, w geometrii analitycznej definiuje się ją z kolei jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. W poniższej tabelce porównane są interpretacje pojęć w aksjomatyce przestrzeni euklidesowej i w przestrzeni kartezjańskiej; dla uproszczenia zagadnienie rozpatrywane jest w geometrii płaszczyzny.

Pojęcie Aksjomatyka przestrzeni euklidesowej Interpretacja w przestrzeni kartezjańskiej
punkt pojęcie pierwotne para uporządkowana liczb rzeczywistych
prosta pojęcie pierwotne zbiór par liczb rzeczywistych spełniających określone równanie
relacja incydencji („punkt leży na prostej”) pojęcie pierwotne relacja należenia do zbioru
aksjomaty (Euklidesa, Hilberta, itp.) spełnione z definicji spełnione na mocy dowodów
dowodzenie twierdzeń w oparciu o aksjomaty w oparciu o metody geometrii analitycznej

Współcześnie termin „przestrzeń euklidesowa” oznacza zwykle jej model w postaci przestrzeni kartezjańskiej. Należy jednak pamiętać, że istnieją również inne, również bardziej abstrakcyjne przestrzenie o geometrii euklidesowej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Księga I - Postulaty
  2. Model na Wolfram MathWorld
  3. Jedna teoria może mieć wiele modeli, nie jest to więc definiowanie pojęć pierwotnych, bo wówczas każde pojęcie pierwotne miałoby wiele wykluczających się definicji.
  4. The Euclidean model for space
  5. Viktor Vasilʹevich Prasolov, Vladimir Mikhaĭlovich Tikhomirov: Geometry. AMS Bookstore, 2001, s. 7. ISBN 0-8218-2038-9. ISBN 9780821820384.
  6. What really is Geometry?