Twierdzenie o trójzębie

Twierdzenie o trójzębie, twierdzenie o trójliściu – twierdzenie geometrii euklidesowej, dotyczące odległości między pewnymi szczególnymi punktami związanymi z trójkątem.

Twierdzenie

Ilustracja twierdzenia o trójzębie.

Niech $I$ będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC.$ Przez $D$ oznaczmy środek łuku $AC$ niezawierającego punktu $B.$ Z kolei $E$ niech będzie środkiem okręgu dopisanego do trójkąta $ABC$ stycznego do boku $AC.$ Wówczas spełnione są równości

$|ID|=|AD|=|CD|=|ED|$.

Twierdzeniem o trójliściu nazywa się zwykle jedynie dwie pierwsze równości.

Dowód

Z twierdzenia o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku wynikają równości

$|\angle ABI|=|\angle DCA|\quad$ oraz $\quad |\angle CBI|=|\angle DAC|$.

Z własności środka okręgu wpisanego, $BI$ jest dwusieczną $\angle ABC,$ więc $|\angle DCA|=|\angle DAC|,$ a stąd trójkąt ACD jest równoramienny, tzn. $|AD|=|CD|.$

Korzystając z kątów przyległych i sumy miar kątów w trójkącie $ABI,$ otrzymujemy

${\begin{aligned}|\angle DIA|&=180^{\circ }-|\angle AIB|\\&=180^{\circ }-(180^{\circ }-|\angle IAB|-|\angle IBA|)\\&=|\angle IAB|+|\angle IBA|.\end{aligned}}$

Ponieważ $AI$ jest dwusieczną $\angle BAC,$ zachodzi równość $|\angle IAB|=|\angle IAC|.$ Z kolei $|\angle IBA|=|\angle IBC|=|\angle CAD|.$ Zatem

${\begin{aligned}|\angle DIA|&=|\angle IAB|+|\angle IBA|\\&=|\angle IAC|+|\angle CAD|\\&=|\angle IAD|.\end{aligned}}$

Z powyższej równości kątów wnioskujemy, że trójkąt $ADI$ jest równoramienny i $|AD|=|DI|$. To kończy dowód twierdzenia o trójliściu.

Aby udowodnić pełną formę twierdzenia o trójzębie, zauważmy, że z definicji punktów $I$ oraz $E$ zachodzi równość $\angle IAE=90^{\circ }.$ Stąd $IE$ jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym $IAE.$ Analogicznie $IE$ jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie $ICE.$ Zatem punkty $A,I,C,E$ leżą na jednym okręgu. Ponieważ trzy punkty jednoznacznie wyznaczają okrąg a $D$ jest środkiem okręgu opisanego na $AIC$ (z twierdzenia o trójliściu), $D$ jest również środkiem okręgu opisanego na $AICE.$ Stąd bezpośrednio wynika teza twierdzenia o trójzębie.

Zobacz też

• okrąg wpisany
• okrąg dopisany
• twierdzenie o dwusiecznej