Układ łańcuchowy

Układ łańcuchowy – pojęcie związane z robotami mobilnymi, oznacza sposób na przedstawienie zależności pomiędzy położeniem i orientacją robota w przestrzeni, a sygnałami sterującymi. Wzór na układ łańcuchowy używany jest m.in. w algorytmie sterowania sinusoidalnego.

Definicja

Układem łańcuchowym nazywa się układ równań różniczkowych w postaci:

${\frac {dx_{1}}{dt}}=u_{1}$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=u_{2}$

${\frac {dx_{3}}{dt}}=x_{2}u_{1}$

${\frac {dx_{4}}{dt}}=x_{3}u_{1}$

...

${\frac {dx_{n}}{dt}}=x_{n-1}u_{1}$

Układ taki ma $n$ zmiennych i dwa sterowania, za pomocą których należy ustawić wszystkie zmienne na określonych pozycjach. Powyższe równania można także przedstawić jako układ bezdryfowy:

${\frac {dx}{dt}}=g(x)u,$

gdzie:

$g_{1}(x)={\begin{bmatrix}1\\0\\x_{2}\\.\\.\\x_{n-1}\end{bmatrix}},$ $g_{2}(x)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\.\\.\\0\end{bmatrix}}.$

Przykład

Istnieje nieliniowy układ dynamiczny przedstawiony jako układ równań (*)

${\frac {dx}{dt}}=u_{1}\cos \theta$

${\frac {dy}{dt}}=u_{1}\sin \theta$

${\frac {d\phi }{dt}}=u_{2}$

${\frac {d\theta }{dt}}=u_{1}\operatorname {tg} \phi .$

Na początku należy wyznaczyć przybliżenie liniowe funkcji $\sin ,\cos ,\operatorname {tg}$ stosując wzór:

$f(x)\approx f(x_{0})+{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x}}(x-x_{0}).$

W ten sposób otrzymuje się:

$\sin \theta =\theta ,$

$\cos \theta =1,$

$\operatorname {tg} \phi =\phi ,$

a po podstawieniu do (*):

${\frac {dx}{dt}}=u_{1}$

${\frac {dy}{dt}}=u_{1}\theta$

${\frac {d\phi }{dt}}=u_{2}$

${\frac {d\theta }{dt}}=u_{1}\phi .$

Na podstawie otrzymanego układu równań tworzone są nowe zmienne $x_{i},$ które po zróżniczkowaniu dadzą układ łańcuchowy.

$x_{1}=x,$

$x_{2}=\phi ,$

$x_{3}=\theta ,$

$x_{4}=y,$

${\frac {dx_{1}}{dt}}={\frac {dx}{dt}}=u_{1},$

${\frac {dx_{2}}{dt}}={\frac {d\phi }{dt}}=u_{2},$

${\frac {dx_{3}}{dt}}={\frac {d\theta }{dt}}=\phi *u_{1}=x_{2}*u_{1},$

${\frac {dx_{4}}{dt}}={\frac {dy}{dt}}=\theta *u_{1}=x_{3}*u_{1}.$

W ten oto sposób otrzymany został układ łańcuchowy, którym można sterować (o ile jest sterowalny, patrz nawiasy Liego) za pomocą sygnałów wyznaczonych w algorytmie sterowania sinusoidalnego itp.