Wzór Taylora

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności, jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

Twierdzenie Taylora

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $f\colon [a,b]\to Y$ będzie funkcją (n+1)-razy różniczkowalną na przedziale $[a,b]$ w sposób ciągły (na końcach przedziału zakłada się różniczkowalność z lewej, bądź odpowiednio, z prawej strony). Wówczas dla każdego punktu $x$ z przedziału $(a,b)$ spełniony jest wzór zwany wzorem Taylora

$\begin{align}f(x) &= f(a) + \frac{x-a}{1!} f^{(1)}(a) + \frac{(x-a)^2}{2!} f^{(2)}(a) + \ldots + \frac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + R_n(x,a)\\ &= \sum\limits_{k=0}^n \left( \frac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) \right) + R_n(x,a)\end{align},$

gdzie $R_n(x,a)$ spełnia warunek

$\lim_{x\to a}\frac{R_n(x,a)}{(x-a)^n}=0.$

Funkcja $R_n(x,a)$ nazywana jest resztą (Peano) we wzorze Taylora. W przypadku $a=0,$ wzór Taylora nazywany jest wzorem Maclaurina.

Przybliżanie funkcji przy pomocy wzoru Taylora ma charakter lokalny, tzn. odnosi się jedynie do wybranego punktu $a.$ Jeżeli w zastosowaniach pojawia się potrzeba mówienia o innych wartościach, to zakłada się o nich najczęściej że są dostatecznie bliskie punktu $a.$ Sensowne wydaje się jednak pytanie o to kiedy wielomian ze wzoru Taylora przybliża funkcję ze z góry zadaną dokładnością – w tym celu potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie reszty lub po prostu wyrażenie jej w sposób jawny.

Reszty we wzorze Taylora wyrażone w sposób jawny

W przypadku gdy $Y$ jest ciałem liczb rzeczywistych, resztę we wzorze Taylora można wyrazić w sposób jawny. Oto niektóre ze znanych przedstawień reszty:

Reszta w postaci całkowej

$R_n(x,a)=\int\limits_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt$

Reszta w postaci Lagrange’a

Istnieje takie $\theta \in [0,1],$ że

$R_n(x,a)=\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a+\theta(x-a)).$

Lub inaczej, istnieje takie $\xi\in [a,x]$ dla $x>a$ lub $\xi\in [x,a]$ dla $x<a,$ że

$R_n(x,a)=\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi).$

Uwaga: W tym przypadku założenie $Y=\mathbb{R}$ nie jest istotne.

Reszta w postaci Cauchy’ego

Istnieje takie $\theta \in [0,1],$ że

$R_n(x,a)=\frac{(x-a)^{n+1}}{n!}(1-\theta)^n f^{(n+1)}(a+\theta(x-a)).$

Reszta w postaci Schlömilcha-Roche’a

Dla każdego $p>0$ istnieje takie $\xi \in [a,x],$ że

$R_n(x,a)=\frac{(x-a)^{p}(x-\xi)^{n+1-p}}{pn!}f^{(n+1)}(\xi).$

Dla $p=1$ otrzymujemy postać Cauchy’ego reszty. Dla $p=n+1$ otrzymujemy postać Lagrange’a reszty.

Szacowanie reszty

Jeżeli $f\colon [a,b]\to Y$ jest $(n+1)$-krotnie różniczkowalna oraz istnieje takie $M\geqslant 0,$ że

$\|f^{(n+1)}(x)\|\leqslant M$ dla $x\in [a,b],$

to dla reszty $R_n(x,a)$ we wzorze Taylora dla $f$ mamy oszacowanie

$\|R_n(x,a)\|\leqslant \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ dla $x\in [a,b].$

Przy czym za $M$ wystarczy obrać supremum wartości jakie $(n+1)$-wsza pochodna funkcji $f$ przyjmuje dla argumentów z przedziału $[a,b].$

Jeżeli natomiast, $f\colon [a,b]\to Y$ jest $n$-krotnie różniczkowalna oraz $M_1$ jest taką liczbą, że

$\|f^{(n)}(x)-f^{(n)}(a)\|\leqslant M_1$ dla $x\in [a,b],$

to dla reszty $R_n(x,a)$ we wzorze Taylora dla $f$ mamy oszacowanie

$\|R_n(x,a)\|\leqslant \frac{1}{n!}M_1|x-a|^n$ dla $x\in [a,b].$

Szereg Taylora

Jeśli funkcja $f\colon D\to Y,$ gdzie $D\subseteq \mathbb R$ oraz $Y,$ tak jak poprzednio, jest przestrzenią unormowaną, ma w punkcie $x_{0}\in D$ pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg

$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,$

gdzie przyjęto $f^{(0)}(x_0)=f(x_0).$ Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji $f.$ Jeżeli $x_0=0,$ to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Samą funkcję $f$ nazywa się funkcją analityczną w punkcie $x_0,$ jeśli dla pewnego otoczenia tego punktu powyższy szereg jest zbieżny punktowo do funkcji $f$ (funkcja jest równa swojemu rozwinięciu Taylora). Jeśli jest ona analityczna w każdym punkcie dziedziny, to nazywa się ją po prostu analityczną lub gładką (zob. regularność funkcji). Pojęcie funkcji analitycznej określonej w dziedzinie zespolonej pokrywa się z pojęciem funkcji holomorficznej. W dziedzinie rzeczywistej tak nie jest, każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale nie na odwrót.

Przy założeniu istnienia pochodnych dowolnego rzędu funkcji $f\colon D\to Y$ w punkcie $x_{0}\in D,$ warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby dla danego $x\in D$ szereg Taylora funkcji $f$ był zbieżny do $f(x),$ jest, aby ciąg $(R_n(x,x_0))_{n\in \mathbb N}$ reszt we wzorze Taylora był zbieżny do zera.

Szereg (wzór) Taylora jest efektywnym narzędziem aproksymacji funkcji dostatecznie dużo razy różniczkowalnych. Często do obliczenia przybliżonej wartości funkcji (o wartościach rzeczywistych), liczy się wartość dla $m$-tej sumy częściowej jej szeregu Taylora. Tak więc przybliżoną wartość funkcji rzeczywistej $f,$ spełniającej powyższe założenia można znaleźć licząc kilka pierwszych wartości:

$f(x)\approx \sum_{k=0}^{N}\frac{f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k}{k!},$

przy czym błąd jest wtedy nie większy niż:

$\max_{\xi\in[x_0,x]}\left\{(x-x_0)\cdot\left|\frac{f^{(N+1)}(x_0)(\xi-x_0)^{N+1}}{(N+1)!}\right|\right\}.$

Rozwinięcia niektórych funkcji w szereg Maclaurina

Wszystkie poniższe rozwinięcia są poprawne także po rozszerzeniu dziedziny funkcji na liczby zespolone – domyślnie $x$ jest więc liczbą zespoloną, chyba że zaznaczono inaczej.

Pierwiastek kwadratowy

$\sqrt{x+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2 4^n}x^n,\; |x|<1$

Funkcja wykładnicza i logarytm naturalny

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^{n},$ -1< x ≤1

Szereg geometryczny

$\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n,\; |x|<1$

Uogólniony dwumian Newtona

$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infin} {\alpha \choose n} x^n,\; |x|<1, \alpha\in \mathbb C$

gdzie ${\alpha\choose n} = \frac{\alpha!}{n!(\alpha-n)!} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$

Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne

Im większy stopień wielomianu interpolacyjnego we wzorze Taylora tym lepiej przybliża on wyjściową funkcję. Na rysunku: rozwinięcia funkcji sinus stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 oraz 13 odpowiednio.

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\mbox{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots ,\; |x|<\frac{\pi}{2}$

gdzie $B_n$ oznaczają liczby Bernoulliego.

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n},\; |x|< \frac{\pi}{2}$

gdzie $E_n$ oznaczają liczby Eulera.

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1},\; |x| < 1$

$\mbox{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1},\; |x|<1$

Funkcje hiperboliczne i area hiperboliczne

$\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

$\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}$

$\mbox{tgh}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1},\; |x|<\frac{\pi}{2}$

$\mathrm{arsinh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1},\; |x|< 1$

$\mathrm{artgh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1},\; |x|< 1$

Funkcja W Lamberta

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n,\; |x|< \frac{1}{\mathrm{e}}$

Uogólnione twierdzenie Taylora

Prawdziwe jest także następujące uogólnienie twierdzenie Taylora, zwane również twierdzeniem Taylora.

Niech szereg potęgowy $\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$ będzie zbieżny dla $|x|<R$ i niech $f(x)$ oznacza sumę tego szeregu na przedziale $(-R,R).$ Jeżeli $a\in (-R,R),$ to funkcję $f$ można rozwinąć w punkcie $x=a$ w szereg potęgowy, który jest zbieżny dla $|x-a|<R-|a|,$ przy czym

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.$

Przykłady obliczania

Przykład 1

Znależć sumę częściową szeregu Maclaurina funkcji,

$f(x)=\ln\cos x,$

będącą wielomianem stopnia 6.

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu i cosinusa

$\ln(1+x) = x - \tfrac{x^2}{2}+ \tfrac{x^3}{3} - \cdots$

$\cos x - 1 = -\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24}-\tfrac{x^6}{720}+ \cdots,$

podstawiamy odpowiednio, upraszczamy, pomijając jednomiany stopnia wyższego od 6:

$(-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24}-\tfrac{x^6}{720}) - \tfrac{(-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24})^2}{2} +\tfrac{(-\tfrac{x^2}{2})^3}{3}$

$=-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24}-\tfrac{x^6}{720} - \tfrac{x^4}{8}+\tfrac{x^6}{48}-\tfrac{x^6}{24}$

$\ =-\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^4}{12}-\tfrac{x^6}{45}.$

Przykład 2

Znaleźć postać szeregu Maclaurina funkcji

$g(x)=\tfrac{e^x}{\cos x}\,.$

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu funkcji wykładniczej i cosinusa

$e^x = \sum^\infty_{n=0} {x^n\over n!} =1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} +\cdots$

$\cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots$

Planujemy postać szeregu Maclaurina:

${e^x \over \cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots$

Mnożymy wyrażenie przez $\cos x$

$\begin{align} e^x &= (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots)\cos x\\ &=\left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots\right)\left(1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots\right)\\ &=c_0 - {c_0 \over 2}x^2 + {c_0 \over 4!}x^4 + c_1x - {c_1 \over 2}x^3 + {c_1 \over 4!}x^5 + c_2x^2 - {c_2 \over 2}x^4 + {c_2 \over 4!}x^6 + c_3x^3 - {c_3 \over 2}x^5 + {c_3 \over 4!}x^7 +\cdots \end{align}$

Porządkujemy odpowiednie współczynniki:

$=c_0 + c_1x + \left(c_2 - {c_0 \over 2}\right)x^2 + \left(c_3 - {c_1 \over 2}\right)x^3+\left(c_4+{c_0 \over 4!}-{c_2\over 2}\right)x^4 + \cdots$

Porównując współczynniki dostajemy:

$\tfrac{e^x}{\cos x}=1 + x + x^2 + {2x^3 \over 3} + {x^4 \over 2} + \cdots$

Przykład zastosowania

Obliczyć w przybliżeniu $\sqrt{10}.$

$\sqrt 9$ jest znany, podobnie jak wartości kolejnych pochodnych funkcji $f(x)=\sqrt x$ w punkcie x = 9, tak więc:

$\sqrt 10=\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{f^{(k)}(9)(10-9)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{f^{(k)}(9)}{k!}\approx\sum_{k=0}^{N}\tfrac{f^{(k)}(9)}{k!}$

$\sqrt 10\approx\sqrt 9+\tfrac 1{2\sqrt 9}-\tfrac 1{8(\sqrt 9)^3}+\tfrac 3 {48(\sqrt 9)^5}=3+\tfrac 1 6-\tfrac 1{216}+\tfrac 1{3888}=3+\tfrac{631}{3888}\approx 3,162294238683127572016$

$\left(3+\tfrac{631}{3888}\right)^2=10+\tfrac{1585}{15116544}.$

Przy czym błąd jest nie większy niż:

$\max_{\xi\in[9,10]}\left((10-9)\left|{384(\sqrt\xi)^7}\right|\right)=\tfrac{15}{384(\sqrt 9)^7}=\tfrac{15}{839808}\approx 0,000017861.$

Zobacz też

• funkcja analityczna
• szereg Laurenta
• twierdzenie o przyrostach
• przybliżenie Padé
• wzór Eulera-Maclaurina

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. trzecie fotograficzne. T. I. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1966, s. 201-218.
• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa, Poznań: PWN, 2000. ISBN 83-01-02846-7.