Sterowalność

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów układy statyczne - układy dynamiczne układy liniowe - układy nieliniowe układy stacjonarne - układy niestacjonarne układy deterministyczne - układy stochastyczne układy o parametrach skupionych - układy o parametrach rozłożonych uklady ciągłe - układy dyskretne więcej... Wybrane typy regulacji regulacja stałowartościowa regulacja nadążna regulacja optymalna regulacja adaptacyjna więcej... Metody klasyczne opis typu wejście-wyjście transmitancja charakterystyki czasowe charakterystyki częstotliwościowe linie pierwiastkowe stabilność regulacja PID Nowoczesna teoria sterowania równania stanu - stan układu sterowalność - przesuwanie biegunów regulator liniowo-kwadratowy obserwowalność - obserwator stanu filtr Kalmana regulator LQG sterowanie predykcyjne krzepkość - H-nieskończoność Inne zagadnienia identyfikacja systemów Dziedziny powiązane teoria układów dynamicznych przetwarzanie sygnałów sztuczna inteligencja teoria decyzji metody numeryczne Perspektywa historyczna historia automatyki teoretycy sterowania

Sterowalność (ang. controllability) – pojęcie występujące w automatyce, pozwalające określić możliwość wpływania na stan badanego obiektu.

Wstęp

Sterowalność i obserwowalność to kluczowe zagadnienia przy analizie i syntezie układów regulacji.

Sterowalność to własność układu sterowania polegająca na tym, że istnieje sterowanie przeprowadzające układ w pewnym skończonym przedziale czasu do zadanego stanu (np. położenia, prędkości, przyspieszenia itp.) przy spełnieniu warunków początkowych.

Poglądowo rzecz ujmując koncepcja sterowalności oznacza zdolność poruszania układem po całej jego przestrzeni konfiguracji z użyciem tylko pewnych dopuszczalnych czynności. Dokładna definicja różnicuje się nieco zależnie od typu stosowanego modelu. W literaturze przedmiotu spotyka się między innymi takie pojęcia jak: sterowalność stanu, sterowalność wyjść, sterowalność w kontekście zachowania.

Sterowalność odnosi się do możliwości wymuszenia przejścia układu do określonego stanu za pomocą odpowiednich sygnałów sterujących. Jeśli stan nie jest sterowalny, to żaden z sygnałów nie będzie mógł sterować takim stanem. Jeśli stan jest niesterowalny ale jego dynamika jest stabilna to wówczas taki stan nazywa się stabilizowalnym.

Z geometrycznego punktu widzenia, spoglądając na wszystkie zmienne stanu układu, które mają być sterowane, każdy "niedobry" stan tych zmiennych musi być sterowalny i obserwowalny co ma zapewnić właściwe zachowanie układu zamkniętego. To znaczy, jeśli jedna z wartości własnych układu nie jest ani sterowalna ani obserwowalna to odpowiadająca jej część dynamiki pozostanie nienaruszona w układzie zamknietym. Jeśli taka wartość własna układu nie jest stabilna, to dynamika odpowiadająca tej wartości własnej będzie obecna w układzie zamkniętym, który stanie się przez to niestabilny. Nieobserwowalne bieguny układu nie są obecne w realizacji transmitancji operatorowej przez odpowiednie równania stanu, dlatego opis równaniami stanu bywa preferowany przy analizie układów regulacji.

Problemy związane z brakiem sterowalności lub obserwowalności mogą być rozwiązane między innymi przez dodanie urządzeń wykonawczych lub czujników.

Definicja – układ liniowy

Liniowy układ sterowania jest sterowalny, jeżeli dla dowolnego stanu początkowego $x(0)\,$ możemy zastosować takie sterowanie $u(t)\,$, które w skończonym czasie $t_f\,$ spowoduje sprowadzenie sygnału wyjściowego do zera ($x(t_f)=0\,$).

Definicja – układ nieliniowy

Nieliniowy układ sterowania jest sterowalny, gdy macierz Liego ma pełny rząd.

Sposoby wyznaczania

Sterowalność można sprawdzić na kilka sposobów, np.:

• poprzez sprawdzenie kryterium rzędu macierzy Kalmana, $\Omega = \begin{bmatrix}B & AB & A^{2}B & ...& A^{n-1}B\end{bmatrix}$,

gdzie $A\,$ – macierz stanu, $B\,$ – macierz wejść (zob. rówanie stanu),

• poprzez sprawdzenie odwracalności macierzy Grama (równoważne do kryterium Kalmana),
• wyznaczenie rzędu macierzy Hautusa,
• wyznaczenie rzędu macierzy wygenerowanej za pomocą nawiasów Liego.

Pierwsze cztery sposoby dotyczą liniowych układów, natomiast ostatni dotyczy nieliniowych układów (takich jak układ łańcuchowy). Jeśli układ jest sterowalny, rząd obliczonej macierzy będzie równy rzędowi układu.

Wzór – układ liniowy

Stan układu $x(t)\,$ w końcowej chwili $t_f\,$ (takiej, że $x(t_f)=0\,$) ma postać:

$x(t_f)=e^{t_fA}x(0)+\int_0^{t_f}{e^{(t_f-s)A}Bu(s)ds}=0$

$\int_0^{t_f}{e^{-sA}Bu(s)ds}=-x(0)$

Jako sterowanie $u(s)\,$ proponujemy funkcję:

$u(s)=-B^Te^{-sA^T}Mx(0)$.

Po podstawieniu $u(s)$ do wzoru otrzymujemy wzór na M:

$M=(\int_0^{t_f}e^{-sA}BB^Te^{-sA^T}ds)^{-1}$.

Wyrażenie w nawiasie to macierz Grama.

Załóżmy, że układ jest niesterowalny. Istnieje wówczas taki $\mathbf v \ne 0$, że $G\mathbf v = 0$, a tym samym $\mathbf v^TG\mathbf v = 0$. Po wprowadzeniu wektora $\mathbf v^T$ oraz $\mathbf v$ pod znak całki funkcję podcałkową można zapisać jako iloczyn $\mathbf w^T\mathbf w = \|w\|^2$, gdzie $\mathbf w=B^Te^{-sA^T}\mathbf v$.

Ponieważ $G = 0\,$, to $\|\mathbf w\| = 0$, a więc $\mathbf w = 0 = \mathbf w^T$. W ten sposób

$\mathbf v^Te^{-sA}B = 0$.

Kolejne pochodne tego wzoru będą przedstawiały się (pomijając znak) jako:

$\begin{cases} \mathbf v^TAe^{-sA}B = 0 \\ \mathbf v^T A^2 e^{-sA}B = 0 \\ \dots \\ \mathbf v^T A^{n-1} e^{-sA}B = 0 \end{cases}$.

Po podstawieniu $s = 0$ otrzymuje się

$\begin{cases} \mathbf v^TAB = 0 \\ \mathbf v^T A^2B = 0 \\ \dots \\ \mathbf v^T A^{n-1}B = 0 \end{cases}$,

czyli iloczyn $\mathbf v^T$ przez macierz Kalmana.

Zobacz też

• osiągalność
• odtwarzalność
• dekompozycja Kalmana