Wartość skuteczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wartość skuteczna (w j. ang. rms od Root Mean Square – średnia kwadratowa) – statystyczna miara sygnału okresowo zmiennego (najczęściej dotyczy wielkości elektrycznych prądu i napięcia).

Wartość skuteczna prądu przemiennego jest taką wartością prądu stałego, która w ciągu czasu równego okresowi prądu przemiennego spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał prądu przemiennego (zmiennego).

Moc prądu stałego o wartości I wydzielana na oporniku o rezystancji R:

(1) P = I^2 R\

Tym samym energia wydzielona w ciągu okresu przez prąd stały:

(2) E = P T = I^2 R T\

przy czym T jest długością okresu.

Moc chwilowa prądu przemiennego wynosi:

(3) p = u i = i^2 R = I^2(t) R\

Energia w ciągu okresu T:

(4) E=\int\limits^{t_0+T}_{t_0}{i^2\left( t\right)} R dt

Szukamy takiej wartości prądu stałego, która wydzieliłaby tę samą energię, co prąd przemienny. Tym samym prawe strony równań (2) i (4) powinny być równe:

(5)  I^2 R T = \int\limits^{t_0+T}_{t_0}{i^2\left( t\right)} R dt

Przekształcając to równanie dochodzi się do poszukiwanej wartości prądu stałego:

(6) I=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits^{t_0+T}_{t_0}{i^2\left( t\right)}dt}

Analogicznie dochodzi się do wartości skutecznej napięcia.

Wartość skuteczna U_{S} sygnału u\left( t\right) jest to średnia wartość kwadratowa tego sygnału.

Długość przedziału całkowania T powinna być równa okresowi sygnału lub być jego całkowitą wielokrotnością.

Dla sygnału sinusoidalnego o wartości maksymalnej I_{max} zachodzi zależność:

(7) I=\frac{I_{max}}{\sqrt{2}}.

Dla innych sygnałów (np. odkształconych) ta zależność nie musi być spełniona.

Mierniki elektryczne podają zwykle wartość skuteczną sygnału (nie maksymalną!). W prostszych rozwiązaniach jest ona wyliczana z zależności (7) a poprawny wynik otrzymywany jest jedynie dla przebiegów sinusoidalnych. Mierniki lepszej klasy pozwalaja na pomiar wartości skutecznej przebiegów odkształconych. Obliczają ją z zależności (6). Mierniki takie są opisane jako "true RMS", co oznacza że mierzą rzeczywistą ("prawdziwą") wartość skuteczną i są dużo droższe.

Relacja wartości skutecznej sygnału do jego średniej arytmetycznej \bar{u} i odchylenia standardowego \sigma_{u} jest następująca:

u_{\mathrm{S}}^2 = \bar{u}^2 + \sigma_{u}^2.

Porównanie wartości skutecznych dla kilku typów sygnałów - patrz Parametry sygnału okresowego