Przedział (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przedziałzbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Definicje formalne[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\leqslant) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech -\infty,\infty będą dwoma obiektami nie należącymi do X\,. Rozszerzmy porządek \leqslant na X\cup\{-\infty,\infty\} tak, by element \infty był większy niż wszystkie punkty z X\,, a element -\infty mniejszy niż wszystkie punkty z X\,.

Dla x,y\in X\cup \{-\infty,\infty\} takich, że x \leqslant y definiujemy następujące zbiory, nazywane przedziałami wyznaczonymi przez x,y\,:

  • (x,y):=\{z\in X: x < z < y\}otwartym,
  • [x,y):=\{z\in X: x \leqslant z < y\}lewostronnie domkniętym (prawostronnie otwartym),
  • [x,y]:=\{z\in X: x \leqslant z \leqslant y\}domkniętym (obustronnie),
  • (x,y]:=\{z\in X: x < z \leqslant y\}prawostronnie domkniętym (lewostronnie otwartym).

Niektórzy autorzy używają oznaczeń (x,y)_X\,, [x,y]_X\, itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku. Czasami zamiast [x,y]\, pisze się \langle x,y\rangle i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy też zwrócić uwagę, że zarówno (x,y)\, jak i \langle x,y\rangle do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje następujące oznaczenia: x,y\,:

  • ]x,y[:=\{z\in X: x < z < y\},
  • [x,y[:=\{z\in X: x \leqslant z < y\},
  • [x,y]:=\{z\in X: x \leqslant z \leqslant y\},
  • ]x,y]:=\{z\in X: x < z \leqslant y\}.

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Najczęściej spotykane przykłady przedziałów to przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych:
    • (0,1)\, – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż 1\,,
    • [2,e)\, – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych 2\,, ale mniejszych niż e\,,
    • przedział nieskończony (\pi,\infty) to zbiór wszystkich liczb większych niż \pi\,.
    • (0,0)\, – przedział pusty
  • Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: (-5,5)_{\mathbb Z} jest zbiorem skończonym (jest to \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\,) ale (-5,5)_{\mathbb Q} jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od -5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział (a,b]\, pomiędzy liczbami rzeczywistymi a,b\in \mathbb R oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. (a,b]_{\mathbb R}, podobnie dla innych przedziałów.
  • Rozważmy płaszczyznę \mathbb R^2 z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez \langle x_1,y_1\rangle < \langle x_2,y_2\rangle \iff x_1\leqslant x_2 i y_1\leqslant y_2, gdzie relacja \leqslant jest naturalnym porządkiem na prostej \mathbb R. Wówczas przedział domknięty \big[\langle 0,0\rangle,\langle1,1\rangle\big]_{{\mathbb R}^2} jest domkniętem kwadratem o wierzchołkach w \langle 0,0\rangle,\langle0,1\rangle,\langle 1,0\rangle,\langle1,1\rangle, tzn. zbiorem \left\{\langle x,y\rangle\in {\mathbb R}^2: 0\leqslant x \leqslant 1\ \and\ 0\leqslant y\leqslant 1\right\}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech (X, \leqslant) będzie porządkiem liniowym.

  • Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
  • Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem albo sumą dwóch przedziałów.
  • Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
  • Otwarte przedziały w X\, tworzą bazę pewnej topologii na X\, – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na X\, albo topologią porządkową na X\,.
  • Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na \mathbb R. Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]