Funkcja okresowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja okresowa – intuicyjnie, funkcja, której wartości "powtarzają się" cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym przykładem jest funkcja sinus:

Sin proportional.svg

Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania zjawisk okresowych w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w biologii, medycynie, ekonomii i innych dziedzinach nauki.

Definicja dla funkcji liczbowych[edytuj | edytuj kod]

Niech D\subset\mathbb{R} oraz niech f\colon D\to\mathbb{R} będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze D. Okresem funkcji f nazywamy dowolną liczbę T różną od zera (niekiedy zakłada się, że T>0) o następujących własnościach:

  1. dla dowolnej liczby x\in D, również liczby x+T,x-T należą do D (niekiedy opuszcza się warunek x-T\in D) oraz
  2. dla każdego x\in D zachodzi równość f(x+T)=f(x).

Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją funkcją okresową; funkcję o okresie T nazywa się czasem skrótowo funkcją T-okresową. Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji f istnieje najmniejszy, nazywamy go okresem podstawowym (lub zasadniczym). Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji Dirichleta, danej wzorem


f(x) =
\left \{ \begin{matrix}
1, & \mbox{gdy }x\mbox{ wymierne} \\
0, & \mbox{gdy }x\mbox{ niewymierne}
\end{matrix}
\right.
,

okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna i tylko takie liczby są jej okresami.

Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę x, dla której wyrażenie f(x) ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla x+T, a w konsekwencji i dla x+2T, x+3T itd. (oraz x-T, x-2T itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na przedziale ograniczonym, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by x-T\in D (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku.

Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko dziedzina, ale również wykres funkcji f powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku f(x-T)=f(x); kładąc bowiem x-T zamiast x w warunku 2, otrzymujemy f(x)=f((x-T)+T)=f(x-T).

Jeśli T jest okresem, to każda całkowita wielokrotność liczby T też jest okresem funkcji.

Definicja dla półgrup[edytuj | edytuj kod]

Niech (G,*) będzie półgrupą, a f\colon G\to Y funkcją określoną na G. Jeśli istnieje taki element T w G (nie będący elementem neutralnym), że f(x*T)=f(x) dla dowolnego x\in G, to nazywamy go okresem funkcji f, a samą funkcję nazywamy okresową.

Zauważmy, że powyższa definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bowiem tym razem nie założyliśmy istnienia odpowiednika liczby x-T. Jeśli G jest grupą, to oczywiście warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. ciągi okresowe, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb naturalnych. Zauważmy również, że samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym jakimkolwiek działaniem (tj. niekoniecznie łącznym) oraz że w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej prawy okres od lewego okresu.

Przykłady funkcji okresowych[edytuj | edytuj kod]

Przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne (2\pi-okresowe sinus, cosinus, secans, cosecans, oraz \! \pi-okresowe tangens, cotangens), funkcja stała (której okresem jest każda liczba różna od zera), funkcja wykładnicza rozpatrywana na zbiorze liczb zespolonych, której okresem podstawowym jest 2\pi i.

Suma i iloczyn funkcji okresowych o wspólnej dziedzinie i okresie T są funkcjami okresowymi o okresie T. Okres podstawowy nie musi być zachowany, może się zmniejszyć lub przestać istnieć. Na przykład: \sin{x} + (-\sin{x}).

Jeśli funkcja okresowa f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} o okresie T jest różniczkowalna, to jej pochodna f^\prime\, również jest funkcją okresową o okresie T.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]