Funkcja okresowa

Funkcja okresowa – intuicyjnie, funkcja, której wartości "powtarzają się" cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym przykładem jest funkcja sinus:

Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania zjawisk okresowych w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w biologii, medycynie, ekonomii i innych dziedzinach nauki.

Definicja dla funkcji liczbowych

Niech $D\subset\mathbb{R}$ oraz niech $f\colon D\to\mathbb{R}$ będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze $D$. Okresem funkcji $f$ nazywamy dowolną liczbę $T$ różną od zera (niekiedy zakłada się, że $T>0$) o następujących własnościach:

1. dla dowolnej liczby $x\in D$, również liczby $x+T,x-T$ należą do $D$ (niekiedy opuszcza się warunek $x-T\in D$) oraz
2. dla każdego $x\in D$ zachodzi równość $f(x+T)=f(x)$.

Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją funkcją okresową; funkcję o okresie $T$ nazywa się czasem skrótowo funkcją $T$-okresową. Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji $f$ istnieje najmniejszy, nazywamy go okresem podstawowym (lub zasadniczym). Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji Dirichleta, danej wzorem

$f(x) = \left \{ \begin{matrix} 1, & \mbox{gdy }x\mbox{ wymierne} \\ 0, & \mbox{gdy }x\mbox{ niewymierne} \end{matrix} \right.$,

okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna i tylko takie liczby są jej okresami.

Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę $x$, dla której wyrażenie $f(x)$ ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla $x+T$, a w konsekwencji i dla $x+2T$, $x+3T$ itd. (oraz $x-T$, $x-2T$ itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na przedziale ograniczonym, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by $x-T\in D$ (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku.

Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko dziedzina, ale również wykres funkcji $f$ powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku $f(x-T)=f(x)$; kładąc bowiem $x-T$ zamiast $x$ w warunku 2, otrzymujemy $f(x)=f((x-T)+T)=f(x-T)$.

Jeśli T jest okresem, to każda całkowita wielokrotność liczby T też jest okresem funkcji.

Definicja dla półgrup

Niech $(G,*)$ będzie półgrupą, a $f\colon G\to Y$ funkcją określoną na $G$. Jeśli istnieje taki element $T$ w $G$ (nie będący elementem neutralnym), że $f(x*T)=f(x)$ dla dowolnego $x\in G$, to nazywamy go okresem funkcji $f$, a samą funkcję nazywamy okresową.

Zauważmy, że powyższa definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bowiem tym razem nie założyliśmy istnienia odpowiednika liczby $x-T$. Jeśli $G$ jest grupą, to oczywiście warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. ciągi okresowe, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb naturalnych. Zauważmy również, że samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym jakimkolwiek działaniem (tj. niekoniecznie łącznym) oraz że w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej prawy okres od lewego okresu.

Przykłady funkcji okresowych

Przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne ($2\pi$-okresowe sinus, cosinus, secans, cosecans, oraz $\! \pi$-okresowe tangens, cotangens), funkcja stała (której okresem jest każda liczba różna od zera), funkcja wykładnicza rozpatrywana na zbiorze liczb zespolonych, której okresem podstawowym jest $2\pi i$.

Suma i iloczyn funkcji okresowych o wspólnej dziedzinie i okresie $T$ są funkcjami okresowymi o okresie $T$. Okres podstawowy nie musi być zachowany, może się zmniejszyć lub przestać istnieć. Na przykład: $\sin{x} + (-\sin{x})$.

Jeśli funkcja okresowa $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o okresie $T$ jest różniczkowalna, to jej pochodna $f^\prime\,$ również jest funkcją okresową o okresie $T$.

Zobacz też

• okres (fizyka)
• Funkcja prawie okresowa