Średnia kwadratowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W matematyce średnia kwadratowa (RMS[1] ) – przykład miary statystycznej pozwalającej oszacować rząd wielkości serii danych liczbowych lub funkcji ciągłej, użyteczny zwłaszcza w przypadku, gdy wielkości różnią się znakiem.

Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem innej miary, jest to mianowicie średnia potęgowa rzędu 2, jednak ze względu na jej znaczenie praktyczne ma odrębną nazwę.

Dla rozkładu dyskretnego[edytuj | edytuj kod]

Średnia kwadratowa n\, liczb a_1, a_2, \ldots, a_n jest to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb

a_{SK} =\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}

Na przykład, średnią kwadratową liczb 2, 2, 5 i 7 jest

\sqrt{\frac{2^2 + 2^2 + 5^2 + 7^2}{4}} \approx 4,53.

Ważona średnia kwadratowa jest to średnia kwadratowa z uwzględnieniem wag poszczególnych składników

a_{SKW} = \sqrt{\frac{w_1\cdot a_1^2 + w_2\cdot a_2^2 + \cdots + w_n\cdot a_n^2}{w_1 + w_2 + \cdots+w_n}}.

Dla rozkładu ciągłego[edytuj | edytuj kod]

Średnią kwadratową funkcji ciągłej x(t) określonej w przedziale [T_1, T_2] określamy według wzoru:

x_{SK} = \sqrt{{1\over{T_2-T_1}} \int\limits_{T_1}^{T_2}[x(t)]^2\,dt}

Przykłady zastosowań[edytuj | edytuj kod]

W matematyce[edytuj | edytuj kod]

Średnia kwadratowa różnic wartości zmiennej i wartości oczekiwanej jest odchyleniem standardowym tej zmiennej (dla populacji skończonej)

\sigma =\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( x_{i}-x_{0} \right)^{2}}}{n}}

gdzie n – liczebność populacji, x0 wartość oczekiwana zmiennej.

W rachunku błędów[edytuj | edytuj kod]

Odchylenie standardowe jest miarą niepewności pomiarowej przy wielokrotnym pomiarze tej samej wielkości. Estymatorem wartości oczekiwanej jest wówczas wartość średnia. Aby średnia kwadratowa odchyleń od średniej mogła być średnim błędem kwadratowym, liczba pomiarów powinna być większa od 30.

W teorii kinetycznej gazów[edytuj | edytuj kod]

Średnia prędkość kwadratowa cząsteczek gazu doskonałego w teorii kinetycznej gazów

\sqrt{\overline{V^{2}}}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i}^{n}{V_{i}^{2}}}{n}}

jest ściśle związana z temperaturą tego gazu. Dla gazu jednoatomowego zależność ta wyraża się wzorem

\sqrt{\overline{V^{2}}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}},

gdzie:

kstała Boltzmanna;
Ttemperatura w kelwinach;
m - masa pojedynczej cząsteczki.

Wzór ten można znaleźć z rozkładu prędkości cząsteczek (rozkład Maxwella).

W teorii sygnałów[edytuj | edytuj kod]

Wartość skuteczna natężenia I_{SK} prądu przemiennego i(t) jest taką wartością natężenia prądu stałego, która w ciągu czasu T, równego okresowi prądu przemiennego, spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał prądu przemiennego. Wartość ta jest średnią kwadratową tego sygnału:

I_{SK}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits^{t_0+T}_{t_0}{i^2\left( t\right)}dt}.

Przypisy

  1. od angielskiego "root mean square"; nazwa stosowana głównie w żargonie elektronicznym w znaczeniu: wartość skuteczna

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]