Wielomiany Legendre'a

Wielomiany Legendre'a (nieunormowane) określa się wzorem (Rodriguesa)

$P _n = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\quad (n=0,1,\ldots)$

Można je również zapisać w jawnej postaci

$P _n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{i=0}^{[\frac{n}{2}]}(-1)^i{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.$

Funkcja generująca

Wielomiany Legendre'a są współczynnikami w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji G(x,t) postaci:

$G(x,t) = (1 - 2xt + t^{2})^{-1/2}\;$

Zachodzi wzór:

$G(x,t) = (1 - 2xt + t^{2})^{-1/2} = \sum _{l=0} ^{\infty} P _{l}(x) t^{l}$

Własności

• zależność rekurencyjna

$P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}x P _n(x)-\frac{n}{n+1} P _{n-1}(x)\quad (n=1,2,\ldots)$

• ortogonalność z wagą $p(x)=1$ na odcinku $[-1,1]$
• $\int_{-1}^1P_n^2(x)dx=\frac{2}{2n+1}$, a zatem układ $\{\sqrt{n+\tfrac{1}{2}}P_n\colon\, n\in \mathbb{N}\}$ jest układem ortonormalnym w przedziale [-1,1].

Wielomiany Legendre'a P_n(x) dla n=0,...,5

Przykłady wielomianów Legendre'a

Poniżej wymieniono kilka początkowych wielomianów Legendre'a:

$P_0(x)=1\,$

$P_1(x)=x\,$

$P_2(x)=\tfrac{1}{2}(3x^2-1) \,$

$P_3(x)=\tfrac{1}{2}(5x^3-3x) \,$

$P_4(x)=\tfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)\,$

$P_5(x)=\tfrac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)\,$

$P_6(x)=\tfrac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)\,$

$P_7(x)=\tfrac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,$

$P_8(x)=\tfrac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,$

$P_9(x)=\tfrac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,$

$P_{10}(x)=\tfrac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,$

$P_{11}(x)=\tfrac{1}{256}(88179x^{11} - 230945x^9 + 218790x^7 - 90090x^5 + 15015x^3 - 693x)\,$

Z wielomianami Legendre'a związane są stowarzyszone funkcje Legendre'a

Zobacz też

• formuła trójczłonowa
• wielomiany Czebyszewa
• wielomiany Hermite'a
• wielomiany Laguerre'a

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.3. Warszawa: PWN, 1966, s. 354.