Wielomiany Legendre'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomiany Legendre'a (nieunormowane) określa się wzorem (Rodriguesa)

P _n = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\quad (n=0,1,\ldots)

Można je również zapisać w jawnej postaci

P _n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{i=0}^{[\frac{n}{2}]}(-1)^i{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.

Funkcja generująca[edytuj | edytuj kod]

Wielomiany Legendre'a są współczynnikami w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji G(x,t) postaci:


G(x,t) = (1 - 2xt + t^{2})^{-1/2}\;

Zachodzi wzór:


G(x,t) = (1 - 2xt + t^{2})^{-1/2} = \sum _{l=0} ^{\infty} P _{l}(x) t^{l}

Własności[edytuj | edytuj kod]


P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}x P _n(x)-\frac{n}{n+1} P _{n-1}(x)\quad (n=1,2,\ldots)
  • ortogonalność z wagą p(x)=1 na odcinku [-1,1]
  • \int_{-1}^1P_n^2(x)dx=\frac{2}{2n+1}, a zatem układ \{\sqrt{n+\tfrac{1}{2}}P_n\colon\, n\in \mathbb{N}\} jest układem ortonormalnym w przedziale [-1,1].
Wielomiany Legendre'a Pn(x) dla n=0,...,5

Przykłady wielomianów Legendre'a[edytuj | edytuj kod]

Poniżej wymieniono kilka początkowych wielomianów Legendre'a:

P_0(x)=1\,
P_1(x)=x\,
P_2(x)=\tfrac{1}{2}(3x^2-1) \,
P_3(x)=\tfrac{1}{2}(5x^3-3x) \,
P_4(x)=\tfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)\,
P_5(x)=\tfrac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)\,
P_6(x)=\tfrac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)\,
P_7(x)=\tfrac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,
P_8(x)=\tfrac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,
P_9(x)=\tfrac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,
P_{10}(x)=\tfrac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,
P_{11}(x)=\tfrac{1}{256}(88179x^{11} - 230945x^9 + 218790x^7 - 90090x^5 + 15015x^3 - 693x)\,

Z wielomianami Legendre'a związane są stowarzyszone funkcje Legendre'a

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]