Swoją karierę piłkarską Gröbner rozpoczął w klubie Chemie Eilenburg. W 1967 roku został zawodnikiem Lokomotive Lipsk i w sezonie 1968/1969 zadebiutował w jego barwach w DDR-Oberlidze. Podstawowym zawodnikiem tego klubu stał się w sezonie 1970/1971. Wraz z zespołem z Lipska zdobył Puchar Niemieckiej Republiki Demokratycznej w sezonie 1975/1976. W Lokomotive grał do końca swojej kariery czyli do końca sezonu 1979/1980. W zespole tym rozegrał 230 ligowych meczów i strzelił 18 bramek.