Wzór całkowy Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzór całkowy Cauchy’ego – istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że funkcja holomorficzna zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.

Załóżmy, że U jest zbiorem otwartym zawartym w C oraz f : UC jest funkcją holomorficzną, a koło D = {z : | zz0| ≤ r} zawiera się w U. Niech γ będzie okręgiem tworzącym brzeg D. Wówczas dla każdego a należącego do wnętrza D zachodzi:

f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint\limits_\gamma {f(z) \over z-a}\, dz

gdzie krzywa γ jest zorientowana dodatnio względem swego wnętrza (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład użycia[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy funkcję

f(z)={z^2 \over z^2+2z+2}

oraz kontur C, opisany zależnością: |z|=2.

Aby znaleźć całkę f(z) po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji f(z). Funkcję f możemy zapisać:

f(z)={z^2 \over (z-z_1)(z-z_2)} gdzie \ z_1=-1+i, \quad z_2=-1-i.

Otrzymane punkty mają moduł mniejszy niż 2 wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z Lematu Cauchy’ego-Goursat’a możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów z1 i z2 gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury C1 wokół z1 oraz C2 wokół z2.

Zatem w C1, zdefiniowana poniżej funkcja g1 jest analityczna (bo kontur nie zawiera punktu z2).

g_1(z)={z^2 \over z-z_2}

dlatego:

\oint\limits_{C_1} {\left({z^2 \over z-z_2}\right) \over z-z_1}\,dz=2\pi i{z_1^2 \over z_1-z_2}.

Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:

g_2(z)={z^2 \over z-z_1}
\oint\limits_{C_2} {\left({z^2 \over z-z_1}\right) \over z-z_2}\,dz=2\pi i{z_2^2 \over z_2-z_1}.

Całka po obszarze C jest sumą dwóch powyższych całek:

\oint\limits_C {z^2 \over z^2+2z+2}\,dz = \oint\limits_{C_1} {\left({z^2 \over z-z_2}\right) \over z-z_1}\,dz + \oint\limits_{C_2} {\left({z^2 \over z-z_1}\right) \over z-z_2}\,dz
= 2\pi i\left({z_1^2 \over z_1-z_2}+{z_2^2 \over z_2-z_1}\right)
=2\pi i(-2)\,
=-4\pi i\,.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]