Zbiór otwarty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór otwarty – dla danej przestrzeni topologicznej (X,\tau), każdy element rodziny \tau (topologii) nazywany jest zbiorem otwartym w X. Z definicji, dopełnienie zbioru otwartego nazywane jest zbiorem domkniętym. Istnieją zbiory, które są jednocześnie i otwarte i domknięte (tzw. zbiory domknięto-otwarte), np. zbiór pusty i cała przestrzeń X. Innym przykładem mogą być przedziały postaci [a,b) na prostej wyposażonej w topologię strzałki.

W klasie przestrzeni metrycznych zbiory otwarte można scharakteryzować jako te i tylko te, które wraz z każdym swoim punktem zawierają pewną kulę otwartą o środku w tym punkcie. Na płaszczyźnie euklidesowej zbiorem otwartym jest np. kwadrat

(0,1)\times (0,1),

tj. kwadrat jednostkowy bez brzegu.

W topologii ogólnej funkcje, które zachowują otwartość zbioru poprzez przeciwobrazy nazywane są funkcjami ciągłymi, natomiast funkcje które zachowują otwartość poprzez obrazy nazywane są odwzorowaniami otwartymi.

Własności zbiorów otwartych

1. Zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otwartymi.

2. Suma mnogościowa zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni.

3. Część wspólna danych dwóch zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem otwartym.