Zasada Fermata

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wyprowadzenie zasady załamania z zasady Fermata.

Zasada Fermata w optyce jest szczególnym przypadkiem zasady najmniejszego działania.

Zasadę tę sformułował Pierre de Fermat. Treść jej w ujęciu Fermata miała następujące brzmienie:

Promień świetlny poruszający się (w dowolnym ośrodku) od punktu A do punktu B przebywa zawsze lokalnie minimalną drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie potrzeba czasu najkrótszego.

Obecnie wiadomo, że sformułowanie to nie jest ścisłe. Światło w istocie porusza się po takiej drodze optycznej, która jest stacjonarna, co oznacza, że czas jej pokonania nie zmienia się przy niewielkiej zmianie kierunku biegu promienia. W klasycznych zagadnieniach (załamanie, odbicie od płaskiej powierzchni) jest to droga pokonywana w minimalnym czasie. Ale w przypadku soczewkowania grawitacyjnego światło porusza się po drodze maksymalnej, podczas gdy przy odbiciu od zwierciadła eliptycznego droga promienia osiąga punkt siodłowy (zmiana w jednym kierunku powoduje wzrost czasu pokonania drogi a w kierunku prostopadłym do pierwszego – zmniejszenie).

Na podstawie zasady Fermata można wyprowadzić prawo odbicia i załamania.

Przykład: wyprowadzenie prawa załamania:

Światło biegnie z punktu A do punktu B. Chcemy odnaleźć krzywą, po której się ono porusza. Załóżmy, że mamy dwa ośrodki optyczne o bezwzględnym współczynniku załamania n_1\, i n_2\,. Wtedy prędkość światła w każdym z tych ośrodków wynosi odpowiednio: v_1=\frac{c}{n_1} i  v_2=\frac{c}{n_2} (rysunek). Oznaczmy przez x punkt, w którym światło przechodzi przez granicę dwóch ośrodków (najszybszą drogą dotarcia do tego punktu w jednorodnym ośrodku jest linia prosta). Czas potrzebny na przebycie tej drogi to:

t(x)=\frac{\sqrt{x^2+h_1^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{h_2^2+(a-x)^2}}{v_2}

gdzie a jest odległością między punktami A i B mierzoną w poziomie wzdłuż granicy ośrodków. Stacjonarność rozwiązania wymaga zerowania się pierwszej pochodnej czasu po x

\frac{\text{d}t(x)}{\text{d}x}=0 \iff \frac{x}{v_1\sqrt{x^2+h_1^2}}+\frac{-(a-x)}{v_2\sqrt{h_2^2+(a-x)^2}}=0 \iff
\iff \frac{v_1}{v_2}=\frac{\frac{x}{\sqrt{h_1^2+x^2}}}{\frac{a-x}{\sqrt{h_2^2+(a-x)^2}}}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}

Zatem:

\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}