Zbiór rekurencyjny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór rekurencyjnypodzbiór X \subseteq {\mathbb N} (zbioru liczb naturalnych) dla którego można skonstruować algorytm, który w skończonym czasie rozstrzyga czy dana liczba należy do zbioru czy też nie. Inne nazwy tego pojęcia to zbiór obliczalny oraz zbiór rozstrzygalny.

Własność ogólniejsza (słabsza) to bycie zbiorem rekurencyjnie przeliczalnym.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

f(n) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy n\in X
  • Zbiór X \subseteq {\mathbb N} jest zbiorem rekurencyjnie przeliczalnym jeśli istnieje funkcja rekurencyjna f:{\mathbb N}\longrightarrow{\mathbb N} taka, że X=\{f(n):n\in {\mathbb N}\}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Następujące zbiory są rekurencyjne:

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy zbiór rekurencyjny jest też zbiorem rekurencyjnie przeliczalnym.
  • Nieskończony zbiór rekurencyjnie przeliczalny musi zawierać nieskończony podzbiór rekurencyjny.
  • Istnieją zbiory rekurencyjnie przeliczalne które nie są rekurencyjne.
  • Zbiór X\subseteq {\mathbb N} jest rekurencyjny wtedy i tylko wtedy gdy zarówno X jak i {\mathbb N}\setminus X są rekurencyjnie przeliczalne.
  • Jeśli zbiory X,Y\subseteq {\mathbb N} są rekurencyjne, to także zbiory X\cap Y,X\cup Y oraz {\mathbb N}\setminus X są rekurencyjne.