Zbiór pusty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór pusty - zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. W teorii mnogości ZF, będącej najpopularniejszą aksjomatyką współczesnej matematyki, istnienie zbioru pustego postuluje aksjomat zbioru pustego, natomiast aksjomat ekstensjonalności gwarantuje jego jedyność. Zbiór pusty oznaczany jest zwykle symbolami \varnothing, \empty, bądź {}.

Zbiór, który nie jest pusty (należy do niego choćby jeden element) nazywany jest zbiorem niepustym.

Własności[edytuj | edytuj kod]

\forall A: \varnothing \subseteq A
Jest to wniosek z reguły mówiącej, że z fałszu wynika wszystko. W tym wypadku
\forall x: (x \in \varnothing \implies x \in A)
  • Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A:
\forall A: A \cup \varnothing = A
  • Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:
\forall A: A \cap \varnothing = \varnothing
\forall A: A \times \varnothing = \varnothing
  • Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty:
\forall A: (A \subseteq \varnothing \implies A = \varnothing)
\left\vert \varnothing \right\vert = 0
\forall x \in \varnothing: ( F(x) \and \lnot F(x) )
  • Ponadto, dla dowolnej funkcji zdaniowej F(x) i zbioru A, na którym jest ona określona, zachodzi warunek:
[\forall x \in A: ( F(x) \and \lnot F(x) )] \implies A = \varnothing
  • \varnothing \not= \{\varnothing\} \not= \{\{\varnothing\}\} etc.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Rozdział II (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 8-10. [dostęp 18.06.2011].