Zbiór pusty

∅

Zbiór pusty - zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. W teorii mnogości ZF, będącej najpopularniejszą aksjomatyką współczesnej matematyki, istnienie zbioru pustego postuluje aksjomat zbioru pustego, natomiast aksjomat ekstensjonalności gwarantuje jego jedyność. Zbiór pusty oznaczany jest zwykle symbolami $\varnothing$, $\empty$, ∅ bądź {}.

Zbiór, który nie jest pusty (należy do niego choćby jeden element) nazywany jest zbiorem niepustym.

Własności

• Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru:

$\forall A: \varnothing \subseteq A$

Jest to wniosek z reguły mówiącej, że z fałszu wynika wszystko. W tym wypadku

$\forall x: (x \in \varnothing \implies x \in A)$

• Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A:

$\forall A: A \cup \varnothing = A$

• Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:

$\forall A: A \cap \varnothing = \varnothing$

• Iloczyn kartezjański dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:

$\forall A: A \times \varnothing = \varnothing$

• Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty:

$\forall A: (A \subseteq \varnothing \implies A = \varnothing)$

• Moc zbioru pustego wynosi 0:

$\left\vert \varnothing \right\vert = 0$

• Dla dowolnego zbioru A, zbiór pusty jest relacją w A, zwaną relacją pustą.
• Dla dowolnego zbioru A można określić funkcję $f:\varnothing \to A$, zwaną funkcją pustą.
• Jeżeli $F(x)$ jest dowolną funkcją zdaniową, to prawdą jest, że:

$\forall x \in \varnothing: ( F(x) \and \lnot F(x) )$

• Ponadto, dla dowolnej funkcji zdaniowej $F(x)$ i zbioru A, na którym jest ona określona, zachodzi warunek:

$[\forall x \in A: ( F(x) \and \lnot F(x) )] \implies A = \varnothing$

• $\varnothing \not= \{\varnothing\} \not= \{\{\varnothing\}\}$ etc.

Bibliografia

1. Rozdział II (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 8-10. [dostęp 18.06.2011].