Zdarzenia losowe niezależne

Zdarzenia losowe niezależne - zdarzenia $A, B \in \mathcal{A}$ na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ spełniające warunek

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

Taka postać warunku na niezależność zdarzeń $A$ i $B$ wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie $A$ nie zależy od zdarzenia $B$, jeśli wiedza nt. zajścia $B$ nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia $A$. Co można zapisać jako $P(A|B)=P(A)\;$. Z tej intuicji i wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń ($P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)$) wynika powyższy wzór.

Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli $A_1, \ldots, A_m\in \mathcal{A}$, to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek

$P(A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_k})=P(A_{i_1}) \cdot ... \cdot P(A_{i_k})$ dla każdego układu indeksów $i_1, \ldots, i_k$ oraz dla każdego $k = 1, 2, \ldots, m$.

Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia $A_1, A_2,\ldots$ są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia $A_{i_1}, \ldots, A_{i_n}$ są niezależne.

Własności

• Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
• Gdy zdarzenia $A_1, \ldots, A_n$ są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne $A_1^\prime, \ldots, A_n^\prime$ też są niezależne oraz:

$P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)= P\left( \left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right)^\prime \right) = 1-P\left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right) = 1-\prod_{k=1}^n P(A_k^\prime) = 1-\prod_{k=1}^n(1-P(A_k))$.

Por. prawa De Morgana.

Niezależność σ-ciał

σ-ciała $\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_n$, gdzie $\mathcal{F}_i\subseteq \mathcal{A}$ dla $i\in\{1,\ldots, n\}$ nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych $A_1\in \mathcal{F}_1, \ldots, A_n\in \mathcal{F}_n$

$P(A_1\cap\ldots \cap A_n)=P(A_1)\cdot\ldots\cdot P(A_n)$.

Jeżeli $A_1\in \mathcal{F}_1, \ldots, A_n\in \mathcal{F}_n$, to przez $\sigma(A_i)$ rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie $A_i$, tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór $A_i$. Dokładniej, dla $i\in\{1,\ldots, n\}$

$\sigma(A_i)=\{\varnothing, \Omega, A_i, \Omega\setminus A_i\}$.

Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia $A_1, \ldots, A_n$ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała $\sigma(A_1), \ldots, \sigma(A_n)$ są niezależne.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• zależność zmiennych losowych

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43-47.