Ścisła addytywność miar wektorowych

Ścisła addytywność – własność miar wektorowych o wartościach w przestrzeniach Banacha.

Definicja

Niech ${\mathcal {F}}$ będzie ciałem podzbiorów zbioru $M$ oraz $E$ będzie przestrzenią Banacha i niech $\nu \colon {\mathcal {F}}\to E$ będzie miarą wektorową. Mówimy, że $\nu$ jest ściśle addytywna, gdy dla każdego ciągu $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zbiorów parami rozłącznych z ciała ${\mathcal {F}}$ szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})$ jest zbieżny według normy.

Mówimy, że rodzina $\{\nu _{t}\colon {\mathcal {F}}\to E:t\in T\}$ ściśle addytywnych miar wektorowych jest jednostajnie ściśle addytywna, gdy dla każdego ciągu $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zbiorów parami rozłącznych z ciała ${\mathcal {F}}$ granica $\lim _{n\to \infty }\|\sum _{m=n}^{\infty }\nu _{t}(A_{m})\|=0$ jednostajnie dla każdego $t\in T.$

Własności

• Miara wektorowa o skończonym wahaniu jest ściśle addytywna.
• Ściśle addytywna miara wektorowa, określona na ciele zbiorów, jest ograniczona.
• Jeśli $\{\nu _{t}\colon {\mathcal {F}}\to E:t\in T\}$ jest rodziną miar wektorowych, wtedy następujące warunki są równoważne:

1. $\{\nu _{t}\colon t\in T\}$ jest rodziną jednostajnie ściśle addytywną.
2. $\{x^{\star }\nu _{t}\colon t\in T\,x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}$ jest rodziną jednostajnie ściśle addytywną.
3. Jeśli $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych z ciała ${\mathcal {F}},$ wtedy $\lim _{n\to \infty }\|\nu _{t}(A_{n})\|=0$ jednostajnie dla każdego $t\in T.$
4. Jeśli $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych z ciała ${\mathcal {F}},$ wtedy $\lim _{n\to \infty }\|\nu _{t}\|(A_{n})=0$ jednostajnie dla każdego $t\in T.$
5. $\{|x^{\star }\nu _{t}|\colon t\in T\,x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}$ jest rodziną jednostajnie ściśle addytywną.

Zobacz też

• addytywność
• miara