Ciało zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Nie mylić z: algebra nad ciałem.

Ciało zbiorów, algebra zbiorów – rodzina podzbiorów pewnego niepustego zbioru spełniająca warunki:

  1. zbiór pusty należy do
  2. dopełnienie zbioru należącego do należy do
  3. suma dwóch zbiorów należących do należy do

Czasami, by podkreślić, że jest rodziną podzbiorów konkretnego zbioru pisze się ciało zbiorów na

Ciała zbiorów bada się w teorii mnogości i teorii algebr Boole’a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce.

Podstawowe przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie niepustym zbiorem.

Następujące rodziny podzbiorów są ciałami na

  • rodzina wszystkich podzbiorów zbioru (zbiór potęgowy),
  • rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru
  • rodzina gdzie jest dowolnym podzbiorem
  • rodzina złożona z tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które są skończone lub ich dopełnienie jest skończone (jest ciałem),
  • każde σ-ciało podzbiorów – na przykład rodzina borelowskich podzbiorów danej przestrzeni topologicznej jest ciałem, które jest również σ-ciałem.

Jeśli jest przestrzenią topologiczną, to rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów tworzy ciało. (Ciała tego typu są rozważane głównie dla przestrzeni zerowymiarowych.)

Niech będzie porządkiem liniowym w którym istnieje element najmniejszy. Dla niech (Element jest traktowany jako element większy niż wszystkie punkty z ) Niech będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych podzbiorów które mogą być przedstawione jako dla pewnych elementów spełniających nierówności Wówczas jest ciałem podzbiorów jest to ciało generowane przez przedziały dla

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każde ciało na jest zamknięte na dowolne skończone przekroje i sumy.
  • Przekrój dowolnej rodziny ciał na jest ciałem zbiorów.
  • Dla dowolnej rodziny podzbiorów zbioru istnieje najmniejsze ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je ciałem generowanym przez tę rodzinę.
  • Przypuśćmy, że jest ciałem podzbiorów a jest ideałem podzbiorów Wówczas ciało generowane przez to rodzina gdzie oznacza operację różnicy symetrycznej.
  • Pierścień zbiorów na jest ciałem zbiorów, jeśli należy do niego zbiór

Ciała jako algebry Boole’a[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli jest ciałem zbiorów na to jest algebrą Boole’a.
  • Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na (tzw. przestrzeni Stone’a algebry ). Twierdzenie Stone’a nie może być dowiedzione wyłącznie na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla – wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole’a do ideałów pierwszych).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]