Ciało zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciało zbiorów, algebra zbiorów – rodzina podzbiorów pewnego niepustego zbioru X spełniająca warunki:

  1. zbiór pusty należy do
  2. dopełnienie zbioru należącego do należy do
  3. suma dwóch zbiorów należących do należy do .

Czasami, by podkreślić, że jest rodziną podzbiorów konkretnego zbioru X, pisze się ciało zbiorów na X.

Ciała zbiorów bada się w teorii mnogości i teorii algebr Boole’a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce.

Podstawowe przykłady[edytuj]

Niech X będzie niepustym zbiorem.

Następujące rodziny podzbiorów X są ciałami na X:

  • rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X (zbiór potęgowy)
  • rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru X
  • rodzina , gdzie jest dowolnym podzbiorem X
  • rodzina złożona z tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które są skończone lub ich dopełnienie jest skończone (jest ciałem)
  • każde σ-ciało podzbiorów X – na przykład rodzina borelowskich podzbiorów danej przestrzeni topologicznej jest ciałem, które jest również σ-ciałem.

Jeśli jest przestrzenią topologiczną, to rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów X tworzy ciało. (Ciała tego typu są rozważane głównie dla przestrzeni zerowymiarowych.) Niech będzie porządkiem liniowym w którym istnieje element najmniejszy. Dla niech . (Element jest traktowany jako element większy niż wszystkie punkty z .) Niech będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych podzbiorów które mogą być przedstawione jako dla pewnych elementów spełniających nierówności , . Wówczas jest ciałem podzbiorów X; jest to ciało generowane przez przedziały dla .

Podstawowe własności[edytuj]

  • Każde ciało na X jest zamknięte na dowolne skończone przekroje i sumy.
  • Przekrój dowolnej rodziny ciał na X jest ciałem zbiorów.
  • Dla dowolnej rodziny podzbiorów zbioru istnieje najmniejsze ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je ciałem generowanym przez tę rodzinę.
  • Przypuśćmy, że jest ciałem podzbiorów , a jest ideałem podzbiorów . Wówczas ciało generowane przez to rodzina gdzie oznacza operację różnicy symetrycznej.
  • Pierścień zbiorów R na X jest ciałem zbiorów, jeśli należy do niego zbiór X.

Ciała jako algebry Boole’a[edytuj]

  • Jeśli jest ciałem zbiorów na X, to jest algebrą Boole’a.
  • Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na (tzw. przestrzeni Stone’a algebry ). Twierdzenie Stone’a nie może być dowiedzione wyłącznie na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla – wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole’a do ideałów pierwszych).

Bibliografia[edytuj]