Ciąg dokładny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Niech będzie ciągiem grup oraz - ciągiem homomorfizmów:

Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym, jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu:

[1]

gdzie

,
,
jest elementem neutralnym grupy .

Ciągi dokładne określa się także dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działań[2].

Kategorie abelowe[edytuj]

Ciąg

obiektów kategorii abelowej i morfizmów , takich że

jest nazywany ciągiem dokładnym[3].

Przykłady[edytuj]

  • Niech oznacza grupę jednoelementową (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu:
oznacza, że jest monomorfizmem, bo , gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy H,
oznacza, że jest epimorfizmem, bo
oznacza, że jest izomorfizmem, co wynika z dwóch poprzednich przykładów.
  • Niech grupa G zawiera nietrywialną podgrupę normalną G0. Wtedy ciąg dokładny

nazywa się rozszerzeniem grupy za pomocą grupy . Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy oraz faktorgrupy '[4].

jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n spełniona jest równość

,

to znaczy, gdy dla wszystkich n zachodzi równość .

Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności. Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami)[5].

  • Dla przekształcenia łańcuchowego kategorii kompleksy , stożek i zawieszenie ze sobą związane krótkim ciągiem dokładnym:
,

gdzie i

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Кириллов, op. cit., s.21
  2. Balcerzyk, Józefiak, op. cit., s. 23
  3. Математическая энциклопедия, op. cit., s.410
  4. Кириллов, op. cit., s.26
  5. Dold (tłum. ros.), op. cit., s. 28

Bibliografia[edytuj]

  1. Кириллов А. А.: Теория представлений. Москва: Наука, 1978.
  2. Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985. ISBN 83-01-04874-3.
  3. Виноградов И. М. (red.): Математическая энциклопедия. T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985.
  4. Dold A.: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.