Ciąg dokładny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Niech będzie ciągiem grup oraz – ciągiem homomorfizmów:

Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym, jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu:

[1],

gdzie:

jest elementem neutralnym grupy

Ciągi dokładne określa się także dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działań[2].

Kategorie abelowe[edytuj | edytuj kod]

Ciąg

obiektów kategorii abelowej i morfizmów takich że

jest nazywany ciągiem dokładnym[3].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Niech oznacza grupę trywialną (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu:
oznacza, że jest monomorfizmem, bo gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy
oznacza, że jest epimorfizmem, bo
oznacza, że jest izomorfizmem, co wynika z dwóch poprzednich przykładów.
  • Niech grupa zawiera nietrywialną podgrupę normalną Wtedy ciąg dokładny

nazywa się rozszerzeniem grupy za pomocą grupy Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy oraz faktorgrupy [4].

jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego spełniona jest równość

to znaczy, gdy dla wszystkich zachodzi równość

Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności. Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami)[5].

  • Dla przekształcenia łańcuchowego kategorii kompleksy stożek i zawieszenie ze sobą związane krótkim ciągiem dokładnym:

gdzie i

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. А.А. Кириллов, op. cit., s. 21.
  2. S. Balcerzyk, T. Józefiak, op. cit., s. 23.
  3. Математическая энциклопедия, op. cit., s. 410.
  4. А.А. Кириллов, op. cit., s. 26.
  5. A. Dold (tłum. ros.), op. cit., s. 28.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • А.А. Кириллов: Теория представлений. Москва: Наука, 1978.
  • Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985. ISBN 83-01-04874-3.
  • Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985.
  • A. Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, 1972.]