Ciąg dokładny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Niech będzie ciągiem grup oraz - ciągiem homomorfizmów:

Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym, jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu:

[1]

gdzie

,
,
jest elementem neutralnym grupy .

Ciągi dokładne określa się także dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działań[2].

Kategorie abelowe[edytuj | edytuj kod]

Ciąg

obiektów kategorii abelowej i morfizmów , takich że

jest nazywany ciągiem dokładnym[3].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Niech oznacza grupę jednoelementową (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu:
oznacza, że jest monomorfizmem, bo , gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy H,
oznacza, że jest epimorfizmem, bo
oznacza, że jest izomorfizmem, co wynika z dwóch poprzednich przykładów.
  • Niech grupa G zawiera nietrywialną podgrupę normalną G0. Wtedy ciąg dokładny

nazywa się rozszerzeniem grupy za pomocą grupy . Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy oraz faktorgrupy '[4].

jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n spełniona jest równość

,

to znaczy, gdy dla wszystkich n zachodzi równość .

Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności. Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami)[5].

  • Dla przekształcenia łańcuchowego kategorii kompleksy , stożek i zawieszenie ze sobą związane krótkim ciągiem dokładnym:
,

gdzie i

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Кириллов, op. cit., s.21
  2. Balcerzyk, Józefiak, op. cit., s. 23
  3. Математическая энциклопедия, op. cit., s.410
  4. Кириллов, op. cit., s.26
  5. Dold (tłum. ros.), op. cit., s. 28

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Кириллов А. А.: Теория представлений. Москва: Наука, 1978.
  2. Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985. ISBN 83-01-04874-3.
  3. Виноградов И. М. (red.): Математическая энциклопедия. T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985.
  4. Dold A.: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.