Kompleks łańcuchowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kompleks łańcuchowy – pojęcie występujące w matematyce w algebrze homologicznej i topologii algebraicznej.

Definicja[edytuj]

Kompleksem łańcuchowym nazywamy ciąg grup abelowych (lub ogólniej, modułów) połączony morfizmami zwanymi operatorami brzegu, spełniającymi dla każdego n tożsamość (lub, równoważnie, )

Zapisuje się je zwykle jako:

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i zapisuje się .

Przykłady[edytuj]

  • Dla rodziny kompleksów łańcuchowych ich sumą prostą jest kompleks, w którym:
,

Homologie[edytuj]

Kompleksy łańcuchowe służą zwykle zdefiniowaniu homologii. Dla kompleksu i każdego określamy grupy

które nazywamy, odpowiednio, grupami n-wymiarowych cykli i brzegów kompleksu . Z definicji kompleksu mamy , dzięki czemu możemy określić n-tą grupę homologii kompleksu jako:

.

Elementy tej grupy nazywamy n-wymiarowymi klasami homologicznymi. Klasy homologiczne to klasy równoważności cykli, przy czym dwa cykle są równoważne (inaczej homologiczne), jeśli ich różnica jest brzegiem . Homologiczną klasę cyklu oznaczamy przez .

Przekształcenia łańcuchowe[edytuj]

Przekształceniem łańcuchowym między kompleksami a nazywamy ciąg morfizmów komutujących z operatorami brzegu, tj. spełniających dla każdego zależność

Z tej własności wynika, że przekształcenia łańcuchowe przeprowadzają cykle na cykle i brzegi na brzegi, zatem indukują homomorfizmy na poziomie grup homologii: .

Złożenie dwóch przekształceń łańcuchowych i zdefiniowane jako jest również przekształceniem łańcuchowym . Dlatego kompleksy i odwzorowania łańcuchowe tworzą kategorię oznaczaną [1].

Homologie definiują funktor

,

bo i .

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i zamiast zapisuje się , a funktor - jako (związki funktorialności zapisuje się wtedy w postaci i ).

Przykłady[edytuj]

  • Stożkiem przekształcenia łańcuchowego nazywamy kompleks łańcuchowy , w którym:
, gdzie

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu przez odcinek jednostkowy , gdzie ściągamy do punktu podstawę iloczynu , a drugą podstawę doklejamy do wielościanu za pomocą przekształcenia , co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów przez relacje i dla dowolnych .
  • Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego nazywa się stożkiem nad kompleksem i oznacza się go .
Zawieszenie okręgu (niebieski). Ściagnięte do punktu podstawy iloczynu są zielone.
  • Jeśli , to kompleks jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez . W kompleksie tym:

Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw: i dla dowolnych [2].

Homotopie łańcuchowe[edytuj]

Mając dane dwa przekształcenia łańcuchowe między kompleksami a , powiemy, że ciąg morfizmów jest homotopią łańcuchową między i , jeżeli spełniona jest zależność

.

Homotopijne łańcuchowo przekształcenia łańcuchowe indukują ten sam morfizm na homologiach - istotnie, jeżeli jest cyklem, to mamy:

gdyż , bo jest cyklem. Stąd jest brzegiem, zatem po przejściu do grup homologii ta różnica jest zerem.

Ciągi dokładne kompleksów łańcuchowych[edytuj]

Krótkim ciągiem dokładnym kompleksów łańcuchowych nazwiemy przekształcenia łańcuchowe , takie, że dla każdego , następujący ciąg jest dokładny:

Znanym faktem z algebry homologicznej jest to, że każdy krótki ciąg dokładny kompleksów łańcuchowych można "wyprostować" do długiego ciągu dokładnego grup homologii:

gdzie są naturalne. Istnienie przekształceń można wykazać, stosując np. lemat o wężu do odpowiedniego diagramu.

Przykłady kompleksów łańcuchowych[edytuj]

W topologii algebraicznej występuje szereg kompleksów łańcuchowych.

Singularny kompleks łańcuchowy[edytuj]

Mając dowolną przestrzeń topologiczną możemy zbudować kompleks łańcuchowych w następujący sposób:

Niech będzie wolną grupą abelową, której zbiorem generatorów jest zbiór wszystkich ciągłych przekształceń z n-sympleksu w . Określmy operator brzegu przez

gdzie oznacza sympleks rozpięty na wierzchołkach , a oznacza, że ten wierzchołek opuszczamy.

Proste przekształcenia pozwalają stwierdzić, że istotnie , co dowodzi, że jest kompleksem łańcuchowym. Pozwala nam rozpatrywać homologie tego kompleksu, zwane grupami homologii singularnych przestrzeni .

Kompleksy kołańcuchowe[edytuj]

Jak wiele innych konstrukcji w algebrze, tak również kompleksy łańcuchowe poddają się procesowi dualizacji. Mówimy wtedy o kompleksach kołańcuchowych. Formalna definicja jest niemal identyczna jak w przypadku kompleksów łańcuchowych, z tą tylko różnicą, że operatory brzegu podnoszą, zamiast obniżać, stopień. Również w tym wypadku, dwukrotne zastosowanie operatora brzegu ma dawać zero. Kompleks kołańcuchowy wygląda następująco:

Podobnie definiujemy wówczas grupy kohomologii, przekształcenia kołańcuchowe itd.

Przypisy

  1. Dold (tłum. ros.), op. cit., s. 27
  2. Greenberg, op. cit., s.105

Bibliografia[edytuj]

  1. Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: PWN, 1972.
  2. Albrecht Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972, seria: Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaft.
  3. Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0.