Epimorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram przemienny epimorfizmu

Epimorfizm – w teorii kategorii, morfizm mający prawostronną własność skracania, tj. dla wszystkich morfizmów spełniony jest warunek

[1].

Epimorfizmy są odpowiednikami funkcji „na”, lecz nie są one z nimi tożsame. Pojęciem dualnym do epimorfizmu jest monomorfizm.

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje epimorfizm jako homomorfizm „na” (surjektywny). Każdy epimorfizm w tym sensie algebraicznym jest epimorfizmem w sensie teorii kategorii, ale nie jest to prawdą we wszystkich kategoriach.

Epimorfizm konormalny[edytuj]

Jeśli dany epimorfizm jest kojądrem jakiegoś morfizmu, to nazywany jest on wówczas epimorfizmem konormalnym[2].

Jeśli każdy epimorfizm danej kategorii jest epimorfizmem konormalnym, to nazywa się kategorią konormalną. Każda z kategorii Gr, Ab, Vect jest konormalna. Kojądro w tych kategoriach istnieje dla każdego morfizmu

.

Jest ono równe grupie ilorazowej , gdzie jest najmniejszą podgrupą normalną zawierającą .

Przykłady[edytuj]

  • Epimorfizmami w kategorii Set są odwzorowania "na".
Niech będzie epimorfizmem, a jednocześnie istnieje taki . Niech . Niech oraz
dla
Wtedy i , co jest sprzeczne z tym, że f jest epimorfizmem. Zatem nie istnieje i funkcja f jest "na".

Przypisy

  1. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 49
  2. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 250

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  1. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  2. Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  3. Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].