Ciąg pokryć punktowo miałki

Ciąg pokryć punktowo miałki – dla danej przestrzeni topologicznej $X$ ciąg pokryć otwartych $({\mathcal {W}}_{n})_{n<\omega }$ o tej własności, że dla każdego punktu $x$ przestrzeni $X$ rodzina $\{W_{n}\colon \,n<\omega \}$ jest bazą w punkcie $x,$ przy czym $W_{n}\in {\mathcal {W}}_{n}$ dla każdego $n.$

Innymi słowy, ciąg pokryć $\{W_{n}\colon \,n<\omega \}$ jest punktowo miałki wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $x$ przestrzeni $X$ i każdego otoczenia $U$ tego punktu istnieje taka liczba naturalna $n,$ że

${\mbox{Gw}}(x,{\mathcal {W}}_{n})\subseteq U$

(por. gwiazda zbioru). Często rozważanym wariantem tego pojęcia jest tzw. miałki ciąg pokryć – ciąg pokryć otwartych $W_{n}\in {\mathcal {W}}_{n}$ przestrzeni $X$ nazywany jest miałkim, gdy dla każdego punktu $x$ przestrzeni $X$ i każdego otoczenia $U$ tego punktu istnieje liczba naturalna $n$ i takie otoczenie $V$ punktu $x,$ że

${\mbox{Gw}}(V,{\mathcal {W}}_{n})\subseteq U.$

Każdy miałki ciąg pokryć jest również punktowo miałki. Pojęcia te pozwalają na zwięzłą wypowiedź wielu twierdzeń, głównie dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych jak np. kryterium Aleksandrowa, kryterium Binga czy twierdzenie Moore'a o metryzacji.

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 402–403.