Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Pokryciem zbioru
Y
,
{\displaystyle Y,}
który jest zawarty w przestrzeni
X
,
{\displaystyle X,}
nazywa się dowolną rodzinę zbiorów
(
U
s
)
s
∈
S
{\displaystyle (U_{s})_{s\in S}}
zawartych w
X
,
{\displaystyle X,}
taką, że zbiór
Y
{\displaystyle Y}
jest zawarty w sumie elementów tej rodziny, tj.
Y
⊆
⋃
s
∈
S
U
s
.
{\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{s\in S}U_{s}.}
Zbiór
S
{\displaystyle S}
jest zbiorem indeksów
Uwaga: Często w definicji pokrycia żąda się, aby
Y
=
⋃
s
∈
S
U
s
.
{\displaystyle Y=\bigcup _{s\in S}U_{s}.}
Dalej będziemy zakładać ten warunek.
Pojęcie pokrycia często jest używane w kontekście topologii [1] .
Niech
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
jest przestrzenią topologiczną.
Definicja pokrycia otwartego [ edytuj | edytuj kod ]
Pokrycie
C
⊆
2
X
{\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq 2^{X}}
nazywa się pokryciem otwartym , gdy każdy element
C
∈
C
{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}
jest zbiorem otwartym , tj.
⋀
C
∈
C
C
∈
τ
.
{\displaystyle \bigwedge _{C\in {\mathcal {C}}}\;C\in \tau .}
Definicja pokrycia domkniętego [ edytuj | edytuj kod ]
Pokrycie
D
⊆
2
X
{\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq 2^{X}}
nazywa się pokryciem domkniętym , gdy każdy element
D
∈
D
{\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}
jest zbiorem domkniętym , tj.
⋀
D
∈
D
X
∖
D
∈
τ
.
{\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\;X\setminus D\in \tau .}
Pokrycia wpisane i podpokrycia [ edytuj | edytuj kod ]
Niech
A
=
(
A
s
)
s
∈
S
,
B
=
(
B
t
)
t
∈
T
{\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S},{\mathcal {B}}=(B_{t})_{t\in T}}
będą pokryciami zbioru
X
.
{\displaystyle X.}
Pokrycie
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
nazywa się pokryciem wpisanym w pokrycie
B
,
{\displaystyle {\mathcal {B}},}
jeśli
⋀
s
∈
S
⋁
t
s
∈
T
A
s
⊆
B
t
s
.
{\displaystyle \bigwedge _{s\in S}\bigvee _{t_{s}\in T}A_{s}\subseteq B_{t_{s}}.}
Pokrycie
A
′
=
(
A
s
′
)
s
∈
S
′
{\displaystyle {\mathcal {A}}'=(A'_{s})_{s\in S'}}
nazywa się podpokryciem pokrycia
A
=
(
A
s
)
s
∈
S
,
{\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S},}
jeśli
S
′
⊂
S
∧
[
s
∈
S
′
⇒
A
s
′
=
A
s
]
.
{\displaystyle S'\subset S\wedge [s\in S'\Rightarrow A_{s}'=A_{s}].}
Każde podpokrycie danego pokrycia jest w nie wpisane.
Definicja pokrycia skończonego [ edytuj | edytuj kod ]
Pokrycie
A
=
(
A
s
)
s
∈
S
{\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S}}
nazywa się skończonym , jeśli
S
{\displaystyle S}
jest zbiorem skończonym (typowo wówczas
S
=
{
1
,
2
,
…
n
}
{\displaystyle S=\{1,2,\dots n\}}
dla pewnego naturalnego
n
{\displaystyle n}
).