Pokrycie zbioru

Pokryciem zbioru $Y$$Y$, który jest zawarty w przestrzeni $X$$X$, nazywa się dowolną rodzinę zbiorów $(U_{s})_{s\in S}$$(U_{s})_{s\in S}$ zawartych w $X$$X$, taką że zbiór $Y$$Y$ jest zawarty w sumie elementów tej rodziny, tj. $Y\subseteq \bigcup _{s\in S}U_{s}$$Y\subseteq \bigcup _{s\in S}U_{s}$. Zbiór $S$$S$ jest zbiorem indeksów

Uwagaː Często w definicji pokrycia żąda się, aby $Y=\bigcup _{s\in S}U_{s}$$Y=\bigcup _{s\in S}U_{s}$. Dalej będziemy zakładać ten warunek.

Definicje

Pojęcie pokrycia jest używane zwykle w kontekście topologii.

Niech $(X,\tau )$$(X,\tau )$ jest przestrzenią topologiczną.

Definicja pokrycia otwartego

Pokrycie ${\mathcal {C}}\subseteq 2^{X}$${\mathcal {C}}\subseteq 2^{X}$ nazywa się pokryciem otwartym, gdy każdy element $C\in {\mathcal {C}}$$C\in {\mathcal {C}}$ jest zbiorem otwartym, tj.

$\bigwedge _{C\in {\mathcal {C}}}\;C\in \tau$$\bigwedge _{C\in {\mathcal {C}}}\;C\in \tau$.

Definicja pokrycia domkniętego

Pokrycie ${\mathcal {D}}\subseteq 2^{X}$${\mathcal {D}}\subseteq 2^{X}$ nazywa się pokryciem domkniętym, gdy każdy element $D\in {\mathcal {D}}$$D\in {\mathcal {D}}$ jest zbiorem domkniętym, tj.

$\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\;X\setminus D\in \tau$$\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\;X\setminus D\in \tau$.

Pokrycia wpisane i podpokrycia

Niech ${\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S},{\mathcal {B}}=(B_{t})_{t\in T}$${\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S},{\mathcal {B}}=(B_{t})_{t\in T}$ będą pokryciami zbioru $X$$X$.

Pokrycie ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ nazywa się pokryciem wpisanym w pokrycie ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$, jeśli

$\bigwedge _{s\in S}\bigvee _{t_{s}\in T}A_{s}\subseteq B_{t_{s}}$$\bigwedge _{s\in S}\bigvee _{t_{s}\in T}A_{s}\subseteq B_{t_{s}}$.

Pokrycie ${\mathcal {A}}^{\prime }=(A_{s}^{\prime })_{s\in S^{\prime }}$${\mathcal {A}}^{\prime }=(A_{s}^{\prime })_{s\in S^{\prime }}$ nazywa się podpokryciem pokrycia ${\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S}$${\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S}$, jeśli

$S^{\prime }\subset S\wedge [s\in S^{\prime }\Rightarrow A_{s}^{\prime }=A_{s}]$$S^{\prime }\subset S\wedge [s\in S^{\prime }\Rightarrow A_{s}^{\prime }=A_{s}]$.

Każde podpokrycie danego pokrycia jest w nie wpisane.

Definicja pokrycia skończonego

Pokrycie ${\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S}$${\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S}$ nazywa się skończonym, jeśli $S$$S$ jest zbiorem skończonym (typowo wówczas $S=\{1,2,\dots n\}$$S=\{1,2,\dots n\}$ dla pewnego naturalnego $n$$n$).

Zobacz też

• podział zbioru
• przestrzeń zwarta
• rodzina lokalnie skończona
• rodzina punktowo skończona