Pokryciem zbioru
Y
{\displaystyle Y}
, który jest zawarty w przestrzeni
X
{\displaystyle X}
, nazywa się dowolną rodzinę zbiorów
(
U
s
)
s
∈
S
{\displaystyle (U_{s})_{s\in S}}
zawartych w
X
{\displaystyle X}
, taką że zbiór
Y
{\displaystyle Y}
jest zawarty w sumie elementów tej rodziny, tj.
Y
⊆
⋃
s
∈
S
U
s
{\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{s\in S}U_{s}}
. Zbiór
S
{\displaystyle S}
jest zbiorem indeksów
Uwagaː Często w definicji pokrycia żąda się, aby
Y
=
⋃
s
∈
S
U
s
{\displaystyle Y=\bigcup _{s\in S}U_{s}}
. Dalej będziemy zakładać ten warunek.
Pojęcie pokrycia jest używane zwykle w kontekście topologii .
Niech
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
jest przestrzenią topologiczną.
Definicja pokrycia otwartego [ edytuj | edytuj kod ]
Pokrycie
C
⊆
2
X
{\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq 2^{X}}
nazywa się pokryciem otwartym , gdy każdy element
C
∈
C
{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}
jest zbiorem otwartym , tj.
⋀
C
∈
C
C
∈
τ
{\displaystyle \bigwedge _{C\in {\mathcal {C}}}\;C\in \tau }
.
Definicja pokrycia domkniętego [ edytuj | edytuj kod ]
Pokrycie
D
⊆
2
X
{\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq 2^{X}}
nazywa się pokryciem domkniętym , gdy każdy element
D
∈
D
{\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}
jest zbiorem domkniętym , tj.
⋀
D
∈
D
X
∖
D
∈
τ
{\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\;X\setminus D\in \tau }
.
Pokrycia wpisane i podpokrycia [ edytuj | edytuj kod ]
Niech
A
=
(
A
s
)
s
∈
S
,
B
=
(
B
t
)
t
∈
T
{\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S},{\mathcal {B}}=(B_{t})_{t\in T}}
będą pokryciami zbioru
X
{\displaystyle X}
.
Pokrycie
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
nazywa się pokryciem wpisanym w pokrycie
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
, jeśli
⋀
s
∈
S
⋁
t
s
∈
T
A
s
⊆
B
t
s
{\displaystyle \bigwedge _{s\in S}\bigvee _{t_{s}\in T}A_{s}\subseteq B_{t_{s}}}
.
Pokrycie
A
′
=
(
A
s
′
)
s
∈
S
′
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{\prime }=(A_{s}^{\prime })_{s\in S^{\prime }}}
nazywa się podpokryciem pokrycia
A
=
(
A
s
)
s
∈
S
{\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S}}
, jeśli
S
′
⊂
S
∧
[
s
∈
S
′
⇒
A
s
′
=
A
s
]
{\displaystyle S^{\prime }\subset S\wedge [s\in S^{\prime }\Rightarrow A_{s}^{\prime }=A_{s}]}
.
Każde podpokrycie danego pokrycia jest w nie wpisane.
Definicja pokrycia skończonego [ edytuj | edytuj kod ]
Pokrycie
A
=
(
A
s
)
s
∈
S
{\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S}}
nazywa się skończonym, jeśli
S
{\displaystyle S}
jest zbiorem skończonym (typowo wówczas
S
=
{
1
,
2
,
…
n
}
{\displaystyle S=\{1,2,\dots n\}}
dla pewnego naturalnego
n
{\displaystyle n}
).