Diagram Cichonia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Diagram Cichoniadiagram złożony dziesięciu liczb kardynalnych, związanych ze strukturą ideałów zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero na prostej rzeczywistej, oraz ze strukturą przestrzeni Baire'a (tzn. przestrzeni wszystkich ciągów liczb naturalnych).

Nazwa diagramu była wprowadzona przez brytyjskiego matematyka Dawida Fremlina[1] dla uhonorowania wkładu wrocławskiego matematyka Jacka Cichonia i jego grupy w rozwój tej części teorii mnogości. Należy jednak podkreślić, że ostateczny kształt diagramu jest wynikiem pracy wielu matematyków polskich i zagranicznych. W miarę aktualny stan badań w tej i pokrewnych dziedzin można znaleźć w monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha [2]

Dowody nierówności związanych z diagramem Cichonia są bardzo efektywne: mówią o strukturze miary i kategorii więcej, niż wynika to z nierówności pomiędzy odpowiednimi liczbami kardynalnymi. Dlatego rozważa się również wersje diagramu dla własności rozszerzeń modeli teorii mnogości[3] oraz dla własności pewnych rodzin zbiorów "małych"[4].

Definicje formalne[edytuj]

Niech będzie ideałem podzbiorów , do którego należą wszystkie podzbiory jednopunktowe. Definiujemy współczynniki kardynalne ideału następująco :

  • .
    (Innymi słowy, liczba kardynalna add(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I musimy połączyć, aby dostać zbiór nie należący do ideału?")
  • .
    (cov(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, aby pokryć cały zbiór X?")
  • ,
    (non(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile elementów ma najmniejszy zbiór nie należący do I?")
  • (cof(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, by wygenerować cały ideał I?")

Definiujemy także następujące dwie liczby kardynalne (nazywane liczbą nieograniczoną i liczbą dominującą, odpowiednio):

  • ,
  • ,

gdzie "" oznacza "istnieje nieskończenie wiele takich , że" oraz "" oznacza "dla wszystkich, oprócz skończenie wielu mamy, że".

Diagram[edytuj]

Niech będzie σ-ideałem tych podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii Baire'a, oraz niech oznacza σ-ideał zbiorów miary Lebesgue'a zero na prostej. Wówczas zachodzą następujące nierówności, gdzie każda strzałka "" zastępuje znak nierówności "":

Z powyższym diagramem związane są dwie dodatkowe zależności:

oraz
.

Okazuje się, że każde rozmieszczenie wartości i w diagramie, które jest zgodne z nierównościami i powyższymi dwoma równościami jest niesprzeczne z ZFC. Aksjomat Martina implikuje że (a więc i pozostałe współczynniki są równe ), CH oczywiście implikuje że wszystkie liczby w diagramie są równe .

Przypisy

  1. Fremlin, David H.: Cichon's diagram, "Publ. Math. Univ. Pierre Marie Curie" 66, Sémin. Initiation Anal. 23ème Année-1983/84, Exp. No.5, 13 p. (1984). Zbl 0559.03029
  2. Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line.A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. xii+546 pp. ISBN 1-56881-044-X
  3. Pawlikowski, Janusz: Why Solovay real produces Cohen real, "J. Symbolic Logic" 51 (1986), s. 957-968.
  4. Pawlikowski, Janusz; Recław, Ireneusz: Parametrized Cichoń's diagram and small sets, "Fundamenta Mathematicae" 147 (1995), s. 135-155.