Elastyczność substytucji

Elastyczność substytucji – elastyczność stosunku dwóch nakładów czynników funkcji produkcji (lub użyteczności) w odniesieniu do stosunku ich produktów (lub użyteczności) krańcowych. Na rynku konkurencyjnym mierzy ona procentową zmianę stosunku dwóch czynników w reakcji na procentową zmianę ich cen. Mierzy również krzywiznę izokwanty, a tym samym substytucyjność czynników (lub dóbr).

Historia pojęcia

John Hicks zaproponował pojęcie elastyczności substytucji w 1932 roku. Joan Robinson odkryła ją niezależnie, za pomocą równoważnej z pomysłem Hicksa formuły matematycznej. Ekwiwalencja pomiędzy obiema propozycjami nie została początkowo rozpoznana.

Definicja

Ogólną definicję elastyczności X pod względem Y stanowi $E_{Y}^{X}={\frac {\%\ {\mbox{zmiana X}}}{\%\ {\mbox{zmiana Y}}}},$ co można sprowadzić do $E_{Y}^{X}={\frac {dX}{dY}}{\frac {Y}{X}}$ dla nieskończenie małych zmian i różniczkowalnych zmiennych.

Elastyczność substytucji jest zmianą, jaka zachodzi we wzajemnym stosunku zużycia dwóch dóbr do zmiany w relacji ich krańcowych wartości lub cen. Najpowszechniej wykorzystywana jest do opisania stosunku kapitału (K) i pracy (L) w relacji do stosunku ich produktów krańcowych $MP_{K}$ i $MP_{L},$ lub stopy procentowej (r) i płacy (w). Inne zastosowanie odnosi się do stosunku konsumpcji dóbr 1 i 2 w relacji do stosunku ich krańcowych użyteczności lub cen.

Przykład z wykorzystaniem konsumpcji.
Niech zależność użyteczności od konsumpcji będzie reprezentowana przez $U(c_{1},c_{2}),$ wtedy $U_{c_{i}}=dU(c_{1},c_{2})/d{c_{i}}.$ W takim przypadku elastyczność substytucji wynosi:

$E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}{U_{c_{1}}/U_{c_{2}}}}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{1}/p_{2})}{p_{1}/p_{2}}}},$

gdzie $MRS$ to krańcowa stopa substytucji.

Ostatnia równość przedstawia $MRS_{12}=p_{1}/p_{2},$ co jest relacją z warunku pierwszego rzędu dla maksymalizacji problemu konsumenta w równowadze wewnętrznej Arrow-Debreu. Relatywny wybór dóbr konsumpcyjnych przez konsumenta zmienia się, gdy ulegają zmianie relatywne ceny.

Zauważmy również, że $E_{21}=E_{12}{:}$

$E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {d(-\ln(c_{2}/c_{1}))}{d(-\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}}))}}={\frac {d\ln(c_{1}/c_{2})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=E_{12}.$

Równoważną charakterystyką elastyczności substytucji jest:

$E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{21})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}{U_{c_{2}}/U_{c_{1}}}}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{2}/p_{1})}{p_{2}/p_{1}}}}.$

W modelach międzyokresowych elastyczność substytucji konsumpcji w okresach $t$ i $t+1$ znana jest jako elastyczność międzyokresowej substytucji.

Podobnie, jeśli funkcją produkcji jest $f(x_{1},x_{2}),$ to elastyczność substytucji przedstawiana się następująco:

$\sigma _{21}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln \left({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}\right)}}={\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d\left({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}\right)}{{\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}}}}=-{\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d\left({\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}\right)}{{\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}}}},$

gdzie $MRTS$ oznacza krańcową stopę technicznej substytucji.

Odwrotnością elastyczności substytucji jest elastyczność komplementarności.

Przykład

Rozważmy funkcję produkcji Cobba-Douglasa $f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}.$

Krańcowa stopa technicznej substytucji wygląda w tym przypadku następująco:

$MRTS_{12}={\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}.$

Dogodniej jednak jest zamienić notację, oznaczając:

${\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\theta .$

Przekształcenie powyższej formuły daje:

${\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {1-a}{a}}\theta .$

Elastyczność substytucji wynosi wtedy:

$\sigma _{21}={\frac {d\ln \left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln \left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)}{d\ln \left({\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)}}={\frac {d\ln \left({\frac {1-a}{a}}\theta \right)}{d\ln(\theta )}}={\frac {d{\frac {1-a}{a}}\theta }{d\theta }}{\frac {\theta }{{\frac {1-a}{a}}\theta }}=1.$

Tego typu funkcja Cobba-Douglasa posiada zatem stałą, jednostkową elastyczność substytucji niezależnie od parametru alfa.

Interpretacja ekonomiczna

Biorąc pod uwagę pierwotną alokację/kombinację i konkretną substytucję tejże alokacji/kombinacji, stwierdzamy, iż im większa jest elastyczność substytucji, tym większa jest możliwość substytucji w danej alokacji/kombinacji.

Elastyczność substytucji pokazuje również w jaki sposób relatywne wydatki na dobra lub nakład czynników zmieniają się, gdy ich relatywne ceny ulegają zmianie.

Niech $S_{21}$ oznacza wydatki na $c_{2}$ względem wydatków na $c_{1}.$

$S_{21}\equiv {\frac {p_{2}c_{2}}{p_{1}c_{1}}}.$

Gdy relatywne ceny $p_{2}/p_{1}$ ulegają zmianie, relatywne wydatki zmieniają się według:

${\frac {dS_{21}}{d(p_{2}/p_{1})}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{d(p_{2}/p_{1})}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left[1+{\frac {d(c_{2}/c_{1})}{d(p_{2}/p_{1})}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{c_{2}/c_{1}}}\right]={\frac {c_{2}}{c_{1}}}(1-E_{21}).$

Dlatego też określenie, czy wzrost relatywnej ceny $c_{2}$ prowadzi do zwiększenia lub spadku w relatywnych wydatkach na $c_{2}$ zależy od tego, czy elastyczność substytucji jest większa czy mniejsza od 1.

Bezpośrednim efektem wzrostu relatywnej ceny $c_{2}$ jest wzrost wydatków na $c_{2},$ ponieważ dana ilość $c_{2}$ jest droższa. Z drugiej strony, przy założeniu że dobra w przedstawionym problemie nie są dobrami Giffena, wzrost w relatywnej cenie $c_{2}$ prowadzi do spadku w relatywnej ilości kupowanego $c_{2},$ co z kolei powoduje spadek wydatków na $c_{2}.$

Wartość elastyczności substytucji decyduje o wystąpieniu jednego z tych zjawisk. Jeśli wynosi ona mniej niż 1, ma miejsce pierwsza z przedstawionych reakcji: relatywny popyt na $c_{2}$ spada, ale proporcjonalnie mniej niż wzrost relatywnej ceny $c_{2},$ dlatego relatywne wydatki na $c_{2}$ rosną. W tym przypadku dobra są dobrami komplementarnymi.

Z drugiej strony, gdy elastyczność substytucji jest większa niż 1 występuje druga reakcja: zmniejszenie relatywnej ilości nabywanego $c_{2}$ przewyższa wzrost jego relatywnej ceny, a w konsekwencji relatywne wydatki na $c_{2}$ spadają. W takim przypadku dobra są dobrami substytucyjnymi.

Gdy elastyczność substytucji wynosi dokładnie 1 (tak jak w przypadku Cobba-Douglasa), relatywne wydatki na $c_{2}$ względem wydatków na $c_{1}$ są niezależne od relatywnych cen.

Zobacz też

• funkcja produkcji CES
• krańcowa stopa technicznej substytucji

Bibliografia

• Hicks, J.R. (1932). The Theory of Wages. Macmillan. Pierwszy raz zdefiniowana w tej pozycji.
• Mas-Colell, Andreu; Whinston; Green (2007). Microeconomic Theory. New York, NY: Oxford University Press. ISBN 978-0195073409.
• Varian, Hal (1992). Microeconomic Analysis (3rd ed.). W.W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-95735-8.
• Klump, Rainer; McAdam, Peter; Willman, Alpo (2007). „Factor Substitution and Factor-Augmenting Technical Progress in the United States: A Normalized Supply-Side System Approach”. Review of Economics and Statistics. 89 (1): 183–192. doi:10.1162/rest.89.1.183.

Linki zewnętrzne

• The Elasticity of Substitution. cepa.newschool.edu. [zarchiwizowane z tego adresu (2007-02-24)]., Gonçalo L. Fonsekca, essay, The New School for Social Research.