Krzywizna krzywej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wzory i definicje[edytuj | edytuj kod]

Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako:

Natomiast krzywiznę ze znakiem:

gdzie jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a długością tego łuku.

Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.

Wzory na krzywiznę w punkcie są następujące:

  • Dla krzywej określonej parametrycznie w układzie kartezjańskim:

Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie nazywamy odwrotność jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie nazywamy punkt leżący na normalnej do krzywej w punkcie po stronie jej wklęsłości w odległości od równej promieniowi krzywizny.

Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie krzywej są następujące:

  • Dla krzywej o równaniu
  • Dla krzywej o równaniach

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Kruemmung winkel illustration.svg

Krzywizna krzywej w punkcie jest równa granicy ilorazu kąta pomiędzy stycznymi poprowadzonymi w punktach i a długością łuku między a gdy

Kąt można inaczej zapisać jako różnicę kątów pomiędzy stycznymi:

Natomiast długość łuku jako całkę oznaczoną:

Wtedy, zważając na to, że

Ponieważ mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym dlatego stosujemy regułę de l’Hospitala:

Pochodna jest równa natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, mamy:

Dla funkcji uwikłanej wystarczy zamienić na przez co wzór przyjmuje następującą postać:

Jest wtedy jednak zależny zarówno od jak i

Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.

Inny dowód[edytuj | edytuj kod]

Krzywa dana w sposób jawny[edytuj | edytuj kod]

Dana jest krzywa płaska[1] o równaniu i ciągłych pochodnych Na krzywej wyróżnimy dwa jej punkty i Styczne do krzywej poprowadzone w tych punktach opisane są równaniami

(a)

Proste prostopadłe do tych stycznych w punktach zwane normalnymi, otrzymamy zmieniając wartości współczynników kierunkowych w równaniach (a)

(b)
Promień krzywizny krzywej

Punkt w którym przecinają się te normalne otrzymamy rozwiązując układ równań (b).

gdzie:

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez i po przejściu do granicy (punkt zmierza do punktu ) otrzymujemy proste wzory dla współrzędnych środka krzywizny krzywej w punkcie

gdzie:

Promień krzywizny krzywej otrzymamy z równania

Krzywa opisana parametrycznie[edytuj | edytuj kod]

Przez dwa punkty krzywej[1] opisanej równaniami przechodzi sieczna dana równaniem

lub

Dla uproszczenia zapisu w dalszym ciągu posłużymy się tożsamościami

Dzieląc licznik i mianownik przez i przechodząc do granicy otrzymujemy

gdzie są pochodnymi względem parametru liczonymi w punkcie

Przez punkty poprowadzimy dwie normalne o równaniach

Rozwiązaniem tych równań są współrzędne punktu w którym przecinają się proste normalne

gdzie:

Licznik i mianownik ułamka dzielimy przez i po przejściu do granicy otrzymujemy współrzędne środka krzywizny krzywej w jej punkcie

Promień krzywizny równy jest odległości punktów i

Krzywa jako funkcja uwikłana[edytuj | edytuj kod]

Dana jest krzywa[1] o równaniu gdzie jest funkcją ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi dwu pierwszych rzędów w otoczeniu punktu

Jeżeli to w otoczeniu punktu można funkcji nadać postać gdzie i mamy

Równanie stycznej do krzywej przybiera teraz postać

a równania normalnych w punktach

Po wprowadzeniu oznaczeń

rozwiązanie tych równań ma postać

Po przejściu do granicy otrzymujemy

gdzie:

Promień krzywizny wyraża się wzorem

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:

Wartości poszczególnych pochodnych:

Krzywizna jako funkcja parametru

W szczególności dla okręgu krzywizna nie zależy od parametru

Natomiast dla elipsy krzywizna zależy od parametru

Uwaga

W ogólnym przypadku krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie dla których ).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c F. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1954.