Krzywizna krzywej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako:

Natomiast krzywiznę ze znakiem:

gdzie jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a długością tego łuku.

Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.

Wzory na krzywiznę w punkcie są następujące:

  • Dla krzywej określonej parametrycznie w układzie kartezjańskim:
  • Dla krzywej określonej funkcją w układzie biegunowym:

Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie P nazywamy odwrotność jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie nazywamy punkt , leżący na normalnej do krzywej w punkcie P po stronie jej wklęsłości w odległości od P równej promieniowi krzywizny.

Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie P krzywej są następujące:

  • Dla krzywej o równaniu :
  • Dla krzywej o równaniach :

Dowód[edytuj]

Krzywizna krzywej w punkcie jest równa granicy ilorazu kąta pomiędzy krzywymi w punktach i i długością łuku między i gdy :

Kąt mozna inaczej zapisać jako różnicę kątów pomiędzy stycznymi:

Natomiast długość łuku jako całkę oznaczoną:

Wtedy, zważając na to, że :

Zmierzamy się z wyrażeniem nieoznaczonym , dlatego stosujemy regułę de l’Hospitala:

Pochodna jest równa , natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego mamy:

Dla funkcji uwikłanej wystarczy zamienić na przez co wzór przyjmuje następującą postać:

Jest wtedy jednak zależny zarówno od jak i .

Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.

Przykłady[edytuj]

Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:

Wartości poszczególnych pochodnych:

Krzywizna jako funkcja parametru t:

W szczególności dla okręgu krzywizna nie zależy od parametru t:

Natomiast dla elipsy krzywizna zależy od parametru t:

Uwaga

W ogólnym przypadku krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie , dla których ).

Zobacz też[edytuj]