Funkcja grzebieniowa

Wykres funkcji grzebieniowej jako szeregu impulsów Diraca

Funkcja grzebieniowa – dystrybucja, której głównym zastosowaniem jest teoretyczny opis próbkowania natychmiastowego; potoczna nazwa szeregu impulsów Diraca położonych w równych odstępach czasu $T,$

$\operatorname {comb} _{T}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta _{nT},$

gdzie:

$\delta _{nT}$ – impuls Diraca $\delta$ „przesunięty” do punktu $nT$ (tzn. $\delta _{nT}(\varphi )=\varphi (nT)$ dla dowolnej funkcji próbnej $\varphi$)

bywa również oznaczany za pomocą dużej litery cyrylicy Ш (czyt. „sza”), ze względu na jej graficzne podobieństwo do trzech kolejnych impulsów Diraca. Formalnie szereg ten nie jest zbieżny, dlatego nie może być uważany za funkcję. Zwykle oznacza się go: $\operatorname {comb} =\operatorname {comb} _{1}=\sum _{n}\delta _{n}.$

Funkcja grzebieniowa jest funkcją własną (a nawet idempotentem) transformacji Fouriera:

${\mathcal {F}}(\operatorname {comb} )=\operatorname {comb} ,$

co jest całkowicie równoważne ze wzorem sumacyjnym Poissona; podobnie

${\mathcal {F}}(\operatorname {comb} _{T})={\tfrac {1}{T}}\operatorname {comb} _{\frac {1}{T}},$