Wektory i wartości własne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle X będzie przestrzenią liniową nad ciałem \scriptstyle K, zaś \scriptstyle \mathrm T oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora \scriptstyle x przestrzeni spełniony jest warunek

\mathrm Tx = \lambda x,

gdzie \scriptstyle \lambda jest pewnym skalarem, to \scriptstyle x nazywa się wektorem własnym, a \scriptstyle \lambda nazywa się wartością własną przekształcenia \scriptstyle \mathrm T.

Danej wartości własnej \scriptstyle \lambda operatora \scriptstyle \mathrm T odpowiada zbiór

X_\lambda(T) = \{x\in X\colon Tx = \lambda x\}

nazywany podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej \scriptstyle \lambda, gdyż tworzy on domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni \scriptstyle X. Jej wymiar nazywa się wielokrotnością lub krotnością geometryczną wartości własnej \lambda.

Często zakłada się, że \scriptstyle K jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, zaś na \scriptstyle X określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że \scriptstyle X jest pewną przestrzenią Banacha, a \scriptstyle \mathrm T\colon X\to X jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli \scriptstyle \mathrm T jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta \scriptstyle X, to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
  • Jeżeli \scriptstyle \lambda \in K jest wartością własną operatora \scriptstyle \mathrm T, to \scriptstyle |\lambda|\leqslant \|\mathrm T\| (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne).
  • Liczba \scriptstyle \lambda \in K jest wartością własną operatora \scriptstyle \mathrm T wtedy i tylko wtedy, gdy operator \scriptstyle \mathrm T_\lambda = \lambda I-T nie jest różnowartościowy.
  • Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
  • Jeśli macierz \scriptstyle \mathbf A potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej \scriptstyle V, to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
  • Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi \scriptstyle V, to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie skończenie wymiarowe[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: widmo macierzy.

Przekształcenie liniowe \scriptstyle \mathrm A skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych z ustalonymi bazami można przedstawić za pomocą macierzy \scriptstyle \mathbf A nazywanej macierzą przekształcenia liniowego.

Endomorfizmowi \scriptstyle \mathrm A na skończeniewymiarowej przestrzeni \scriptstyle X odpowiada macierz kwadratowa \scriptstyle \mathbf A, a jej wartości własne są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego

w_\mathbf A(\lambda) = \det(\mathbf A - \lambda \mathbf I),

gdzie \scriptstyle \mathbf I jest macierzą jednostkową.

Mając do dyspozycji wartości własne \scriptstyle \lambda_1, \dots, \lambda_n można obliczyć odpowiadające im wektory własne \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n rozwiązując równania postaci

(\mathbf A - \lambda_i \mathbf I) \cdot \mathbf x_i = 0

ze względu na wektory \scriptstyle \mathbf x_i.

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora; w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, to mówi się o widmie macierzy. Jeżeli macierz \scriptstyle \mathbf A jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wartości własnych.

Równanie całkowe jednorodne Fredholma[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle X = L^2(a,b) będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue'a na przedziale \scriptstyle (a, b) oraz niech \scriptstyle K(s, t) będzie będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze

Q = (a,b) \times (a,b).

Można wykazać, że odwzorowanie \scriptstyle \mathrm T\colon X\to X, dane wzorem

(Tx)(s) = \int\limits_a^bK(s,t)x(t)dt

jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy \scriptstyle K(s, t) = \overline{K(t, s)}, to \scriptstyle \mathrm T jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.