Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.

Definicje

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K,$ zaś $\mathrm {T}$ oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora $x$ przestrzeni spełniony jest warunek

$\mathrm {T} x=\lambda x,$

gdzie $\lambda$ jest pewnym skalarem, to $x$ nazywa się wektorem własnym, a $\lambda$ nazywa się wartością własną przekształcenia $\mathrm {T}$.

Danej wartości własnej $\lambda$ operatora $\mathrm {T}$ odpowiada zbiór

$X_{\lambda }(T)=\{x\in X\colon Tx=\lambda x\},$

który jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $X.$ Jest ona nazywana podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej $\lambda ,$ gdyż jest ona zamknięta ze względu na działanie operatora $\mathrm {T} .$ Jej wymiar nazywa się wielokrotnością lub krotnością geometryczną wartości własnej $\lambda .$

Często zakłada się, że $K$ jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, zaś na $X$ określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że $X$ jest pewną przestrzenią Banacha, a $\mathrm {T} \colon X\to X$ jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

Własności

• Jeżeli $\mathrm {T}$ jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta $X,$ to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
• Jeżeli $\lambda \in K$ jest wartością własną operatora $\mathrm {T} ,$ to $|\lambda |\leqslant \|\mathrm {T} \|$ (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne).
• Liczba $\lambda \in K$ jest wartością własną operatora $\mathrm {T}$ wtedy i tylko wtedy, gdy operator $\mathrm {T} _{\lambda }=\lambda I-T$ nie jest różnowartościowy.
• Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
• Jeśli macierz $\mathbf {A}$ potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej $V,$ to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
• Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi $V,$ to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni.

Przestrzenie skończenie wymiarowe - twierdzenia

Tw. (o macierzy przekształcenia liniowego)

Jeśli $T$ jest przekształceniem liniowym z $\mathbb {R} ^{n}$ do $\mathbb {R} ^{m}$ oraz $\mathbf {x}$ jest wektorem kolumnowym mającym $n$ współrzędnych, to istnieje macierz $A$ wymiaru $m\times n$ (gdzie $m$ - liczba wierszy, $n$ - liczba kolumn), nazywana macierzą przekształcenie liniowego $T$, taka że: $$T(\mathbf {x} )=A\mathbf {x}$$Tw. (o znajdowaniu wartości własnych endomorfizmu)

Endomorfizmowi $\mathrm {A}$ na skończeniewymiarowej przestrzeni $X$ odpowiada macierz kwadratowa $\mathbf {A} ,$ a jego wartości własne $w_{\mathbf {A} }(\lambda )$ są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tej macierzy.

$w_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} ),$

gdzie $\mathbf {I}$ jest macierzą jednostkową.

Tw. (o znajdowaniu wektorów własnych)

Mając wartości własne $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ można obliczyć odpowiadające im wektory własne $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}$ rozwiązując równania postaci

$(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} )\cdot \mathbf {x} _{i}=0$

ze względu na wektory $\mathbf {x} _{i}.$

Df. (widma operatora i widma macierzy )

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora; w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, to mówi się o widmie macierzy.

Tw. Jeżeli macierz $\mathbf {A}$ jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi.

Tw. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wartości własnych.

Tw. Iloczyn wartości własnych macierzy jest równy jej wyznacznikowi.

Równanie całkowe jednorodne Fredholma

Niech $X=L^{2}(a,b)$ będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue’a na przedziale $(a,b)$ oraz niech $K(s,t)$ będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze

$Q=(a,b)\times (a,b).$

Można wykazać, że odwzorowanie $\mathrm {T} \colon X\to X,$ dane wzorem

$(Tx)(s)=\int \limits _{a}^{b}K(s,t)x(t)dt,$

jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy $K(s,t)={\overline {K(t,s)}},$ to $\mathrm {T}$ jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.

Zobacz też

• diagonalizacja
• postać Jordana
• równanie własne
• wartość własna układu

Bibliografia

• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Szymon Charzyński, Wprowadzenie do wartości własnych i wektorów własnych, kanał Khan Academy na YouTube, 21 grudnia 2021 [dostęp 2024-06-22].
• Paweł Lubowiecki, Przekształcenia liniowe cz. V. Wartości własne i wektory własne, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].