Wektory i wartości własne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.

Definicje[edytuj]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem zaś oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora przestrzeni spełniony jest warunek

gdzie jest pewnym skalarem, to nazywa się wektorem własnym, a nazywa się wartością własną przekształcenia .

Danej wartości własnej operatora odpowiada zbiór

,

który jest podprzestrzenią liniową przestrzeni . Jest ona nazywana podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej , gdyż jest ona zamknięta ze względu na działanie operatora . Jej wymiar nazywa się wielokrotnością lub krotnością geometryczną wartości własnej

Często zakłada się, że jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, zaś na określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że jest pewną przestrzenią Banacha, a jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

Własności[edytuj]

  • Jeżeli jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
  • Jeżeli jest wartością własną operatora to (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne).
  • Liczba jest wartością własną operatora wtedy i tylko wtedy, gdy operator nie jest różnowartościowy.
  • Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
  • Jeśli macierz potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
  • Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni.

Przykłady[edytuj]

Przestrzenie skończenie wymiarowe[edytuj]

 Osobny artykuł: widmo macierzy.

Przekształcenie liniowe skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych z ustalonymi bazami można przedstawić za pomocą macierzy nazywanej macierzą przekształcenia liniowego.

Endomorfizmowi na skończeniewymiarowej przestrzeni odpowiada macierz kwadratowa , a jego wartości własne pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tej macierzy.

gdzie jest macierzą jednostkową.

Mając wartości własne można obliczyć odpowiadające im wektory własne rozwiązując równania postaci

ze względu na wektory

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora; w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, to mówi się o widmie macierzy. Jeżeli macierz jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wartości własnych.

Równanie całkowe jednorodne Fredholma[edytuj]

Niech będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue'a na przedziale oraz niech będzie będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze

.

Można wykazać, że odwzorowanie dane wzorem

jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy , to jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.