Delta Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Delta Diraca – obiekt matematyczny wprowadzony przez brytyjskiego fizyka teoretycznego Paula Diraca. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości, jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace’a i pochodną (w sensie dystrybucji) funkcji skokowej Heaviside'a. Współcześnie deltę Diraca definiuje się jako miarę, lub jako dystrybucję.

Definicje[edytuj]

Definicja nieformalna[edytuj]

Fizycy definiują zwykle deltę Diraca jako funkcję taką, że

oraz

[1]

W rzeczywistości taka funkcja nie istnieje. Istotnie, zgodnie z definicją musiałaby być ona zerowa poza zbiorem miary Lebesgue'a 0, co powodowałoby, że automatycznie żądana całka zamiast 1 przyjmowałaby zawsze wartość 0. Z tego powodu powyższa definicja nie jest poprawna[1].

Delta Diraca jako dystrybucja[edytuj]

Deltę Diraca definiuje się na gruncie teorii dystrybucji, jako dystrybucję , tzn. funkcjonał liniowy i ciągły w sensie pewnej szczególnej topologii dany wzorem

[2]
 Zobacz też: Teoria dystrybucji.

Delta Diraca jako miara[edytuj]

Na gruncie teorii miary deltę Diraca definiuje się jako miarę daną wzorem

gdzie oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich w [3].

Własności delty Diraca[edytuj]

Ponieważ delta Diraca jest miarą, to ma sens całkowanie względem delty Diraca.

 Zobacz też: Całka Lebesgue'a.

Całkę funkcji względem miary po zbiorze oznacza się często [4], dlatego w dalszym ciągu będzie stosowane oznaczenie na całkę funkcji względem delty Diraca po .

Delta Diraca ma następujące własności

Dowód pierwszej własności zostanie przeprowadzony w trzech krokach.

Krok I

Gdy jest funkcją prostą, tzn. , to bez straty ogólności możemy założyć, że . Wtedy

Krok II

Gdy jest nieujemną funkcją mierzalną, to konstruujemy ciąg aproksymacyjny funkcji prostych . Wtedy korzystając z poprzedniego kroku

Krok III

Gdy jest dowolną funkcją mierzalną, to , gdzie

oraz

Wówczas korzystając z poprzedniego kroku

co kończy dowód.

W szczególności kładąc otrzymujemy

.

Definicję delty Diraca można nieco uogólnić definiując ją jako miarę daną wzorem

[3]

Wówczas

.

Zastosowania[edytuj]

W rachunku prawdopodobieństwa delta Diraca jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej takiej, że [3].

Delta Diraca w fizyce jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce – do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili , o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.

Przypisy

  1. a b Matematyka, Fizyka, Chemia. Encyklopedia szkolna PWN, Warszawa: PWN, 2005.
  2. L. Górniewicz, R. S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, wyd. V, Toruń: Wydawnictwo naukowe UMK, 2012, s. 563.
  3. a b c J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wyd. IV, Warszawa: SCRIPT, 2010, s. 119.
  4. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wyd. IV, Warszawa: SCRIPT, 2010, s. 361.