Funkcjonał Minkowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcjonał Minkowskiego - podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał związany z pochłaniającymi i wypukłymi podzbiorami przestrzeni liniowej

Definicja[edytuj]

Podzbiór A przestrzeni liniowej X nazywa się pochłaniającym, gdy dla każdego elementu x przestrzeni X istnieje taka liczba dodatnia α, że xαA. Zbiory pochłaniające i wypukłe nazywa się zbiorami Minkowskiego. Jeżeli A jest zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał

określony wzorem

,

nazywa się funkcjonałem Minkowskiego zbioru A.

Własności[edytuj]

Niech AX będzie zbiorem Minkowskiego. Wówczas

  • dla ,
  • dla oraz ,
  • dla każdego oraz ,
  • . Ponadto, zbiory są zbiorami Minkowskiego i jest funkcjonałem Minkowskiego każdego z tych zbiorów.

Jeżeli, ponadto, A jest zbiorem zbalansowanym, to μA jest półnormą w przestrzeni X.

Bibliografia[edytuj]

  • Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis. Functional Analysis: An Introduction, American Mathematical Society, 2004, ss. 146-148.