Przestrzeń liniowo-topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Każdy punkt przestrzeni liniowo-topologicznej daje się przedstawić jako pewne przesunięcie zera. Przesunięcie jest homeomorfizmem, więc badanie własności punktów przestrzeni liniowo-topologicznych sprowadza się do badania otoczeń zera.

Przestrzeń liniowo-topologicznaprzestrzeń liniowa z określoną w niej topologią, dla której działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalarciągłe. O topologii dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania.

Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

Przestrzenie liniowo-topologiczne są głównym obiektem badań analizy funkcjonalnej. Najczęściej rozważane są przestrzenie liniowo-topologiczne będące przestrzeniami funkcyjnymi.

Definicja[edytuj]

Niech jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych i niech jest topologią w zbiorze .

Przestrzeń nazywa się przestrzenią liniowo-topologiczną, gdy jest T1-przestrzenią oraz dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe (w sensie odpowiednich topologii produktowych).

Własności[edytuj]

Dla każdego punktu i każdego skalara odwzorowania: i homeomorfizmami przestrzeni na przestrzeń Zasadne jest więc badanie pewnych własności przestrzeni liniowo-topologicznych tylko w odniesieniu do otoczeń zera, gdyż analogiczne wyniki przenoszą się w naturalny sposób przez homeomorfizmy na inne punkty. Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni liniowo-topologicznej jest nadal jej podprzestrzenią. Dowodzi się także, że dowolne rozłączne domknięte i zwarte podzbiory przestrzeni dają się oddzielać zbiorami otwartymi.

Zbiory ograniczone[edytuj]

Nie każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, więc istnieje potrzeba wprowadzenia ogólniejszej definicji zbioru ograniczonego. Zbiór nazywa się ograniczonym, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje , że .

Można wykazać, że jeśli jest jednocześnie przestrzenią unormowaną, to definicja ta jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego. Nie jest na ogół prawdą, że jeśli jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to powyższa definicja jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego, nie musi byc to prawda nawet wtedy, gdy metryka na jest niezmiennicza tzn. spełnia warunek dla .

Charakteryzacja zbiorów ograniczonych[edytuj]

Równoważnie, zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje takie , że dla każdego zbiór zawiera się w zbiorze .

Ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej można także scharakteryzować w sposób równoważny, nieco bliższy intuicji:
Zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego ciągu elementów tego zbioru i każdego ciągu elementów ciała , zbieżnego do zera.

Zbiory zbalansowane[edytuj]

Zbiór nazywa się zbalansowanym, gdy dla każdego takiego, że zbiór .

Domknięcie zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym. Wnętrze zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym, o ile zawiera ono zero. Dodatkowo, każde otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, a każe wypukłe otoczenie zera zawiera otoczenie będące jednocześnie zbiorem wypukłym i zbalansowanym.

Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych[edytuj]

W literaturze matematycznej, często spotyka się następujące nazewnictwo związane z przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówi się, że przestrzeń liniowo-topologiczna (X, τ) jest:

Każda przestrzeń lokalnie ograniczona ma przeliczalną bazę otoczeń[2]. Przestrzeń X jest natomiast normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona. Przestrzeń X ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. Jeśli lokalnie ograniczona przestrzeń X ma własność Heinego-Borela, to ma skończony wymiar.

Przykład[edytuj]

Produkt dowolnej rodziny przestrzeni liniowo-topologicznych jest nadal przestrzenią liniowo-topologiczną.

Na przykład przestrzeń wszystkich funkcji rzeczywistych może być utożsamiany z przestrzenią wyposażoną w topologię Tichonowa. Topologię na nazywa się topologią zbieżności punktowej (zob. zbieżność punktowa ciągu funkcji). Przestrzeń ta nie jest metryzowalna, a więc i nie normowalna.

Ciągi Cauchy'ego[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001, s. 19-24.

Przypisy

  1. a b Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta - inni, zdefiniowaną tu przestrzeń Frécheta, nazywają F-przestrzenią
  2. Zob. Pierwszy aksjomat przeliczalności