Funkcjonał

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcjonałprzekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń. Jest to funkcja, której argumentami są wektory, a wartościami skalary. Często tą przestrzenią jest przestrzeń funkcji - wtedy argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem uważany jest za funkcję funkcji.

Funkcjonał to szczególny przypadek przekształcenia działającego na funkcjach, czyli operatora.

Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu funkcji ekstremalizującej pewien funkcjonał. Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.

Przykłady[edytuj]

Dualność[edytuj]

 Osobny artykuł: Moduł dualny.

Funkcja

przekształca argument na wartość funkcji punkcie . Natomiast funkcjonał

przekształca funkcję na jej wartość w punkcie .

Jeśli jest przekształceniem liniowym z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie wyznaczone przez jest dualne do funkcji i obydwa przekształcenia są funcjonałami liniowymi.

Całka oznaczona[edytuj]

 Osobny artykuł: Całka oznaczona.

Całki postaci

gdzie:

– funkcja o wartościach rzeczywistych,

tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję na liczbę rzeczywistą. W szczególności należą do tej klasy:

  • pole pod wykresem nieujemnej funkcji

Iloczyn skalarny[edytuj]

 Osobny artykuł: Iloczyn skalarny.

Dla danego wektora z przestrzeni wektorowej , iloczyn skalarny z wektorem oznaczony lub jest skalarem. Dlatego wyznacza funkcjonał:

.

Równanie funkcyjne[edytuj]

 Osobny artykuł: Równanie funkcyjne.

Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci są funkcje, dla których wartości funkcjonałów i są równe. Na przykład funkcja jest addytywna jeśli spełnia równanie funkcyjne:

.

Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna[edytuj]

Pochodna funkcjonalna niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w mechanice klasycznej i rachunku wariacyjnym.

Richard Feynman zastosował całki funkcjonalne w swoim sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną przestrzenią funkcyjną.

Forma a funkcjonał[edytuj]

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał.

  • Gleichgewicht[1] wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od zwrotu forma. Ten ostatni zwrot oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:
[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci
zwanej formą liniową [...]

a potem

(10.4)
[...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.

  • Lang[2] używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej (nad ciałem ) w ciało . Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd).
  • Natomiast Komorowski[3] używa jedynie określenia forma, pisząc
Elementy przestrzeni nazywamy formami liniowymi na ; często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.

W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:

Elementy p.w. nazywamy formami n-liniowymi.
  • Musielak[4] pisze
[...] operator liniowy nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 175-177. ISBN 83-01-03903-5
  2. Lang, Serge: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973.
  3. Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strona 68.
  4. Musielak, Julian: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976. Strona 120

Bibliografia[edytuj]