Funkcjonał

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcjonał (forma) – przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń: wektorom przyporządkowuje skalary – liczby rzeczywiste lub zespolone. Gdy przestrzenią wektorową jest przestrzeń funkcji, to argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem funkcjonał uważany jest za funkcję funkcji.

Funkcjonał w takim wypadku jest szczególnym przypadkiem operatora, czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną).

Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu ekstremum funkcjonału, zwanego działaniem Hamiltona (tzw. zasada najmniejszego działania). Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Dualność[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Moduł dualny.

(1) Funkcja

przekształca argument na wartość funkcji punkcie

(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji całej rodziny funkcji, takiej że poszczególne funkcje zależą od argumentu tj.

Jeśli jest przekształceniem liniowym z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie wyznaczone przez dany argument odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym pomiędzy argumentem a funkcją; funkcję nazywa się wtedy dualną do funkcji a obydwie funkcje są funcjonałami liniowymi.

Całka oznaczona[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Całka oznaczona.

Całki postaci

gdzie:

– funkcja o wartościach rzeczywistych,

tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję na liczbę rzeczywistą.

W szczególności należą do tej klasy:

  • pole pod wykresem nieujemnej funkcji

Iloczyn skalarny[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Iloczyn skalarny.

Dla danego wektora z przestrzeni wektorowej iloczyn skalarny z wektorem oznaczony lub jest skalarem. Dlatego wyznacza funkcjonał:

Równanie funkcyjne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Równanie funkcyjne.

Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci są funkcje, dla których wartości funkcjonałów i są równe. Na przykład funkcja jest addytywna, jeśli spełnia równanie funkcyjne:

Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna[edytuj | edytuj kod]

Pochodna funkcjonalna niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w mechanice klasycznej i rachunku wariacyjnym.

Richard Feynman zastosował całki funkcjonalne w swoim sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną przestrzenią funkcyjną.

Forma a funkcjonał[edytuj | edytuj kod]

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał:

(1) Gleichgewicht[1] wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od zwrotu forma. Ten ostatni zwrot oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:

[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci
zwanej formą liniową, [...]

a potem

(10.4)
[...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową.

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.

(2) Lang[2] używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej (nad ciałem ) w ciało Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd.).

  • Natomiast Komorowski[3] używa jedynie określenia forma, pisząc
Elementy przestrzeni nazywamy formami liniowymi na często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.

W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:

Elementy p.w. nazywamy formami n-liniowymi.

(3) Musielak[4] pisze

[...] operator liniowy nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s. 175–177, ​ISBN 83-01-03903-5​.
  2. Serge Lang: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973.
  3. Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 68.
  4. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. 120.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]