Funkcjonał

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcjonał (forma) – przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń: wektorom przyporządkowuje skalary – liczby rzeczywiste lub zespolone. Gdy przestrzenią wektorową jest przestrzeń funkcji, to argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem funkcjonał uważany jest za funkcję funkcji. Analogicznym pojęciem w informatyce jest funkcja wyższego rzędu.

Funkcjonał w takim wypadku jest szczególnym przypadkiem operatora, czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną).

Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu ekstremum funkcjonału, zwanego działaniem Hamiltona (tzw. zasada najmniejszego działania). Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Dualność[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Moduł dualny.

(1) Funkcja

przekształca argument na wartość funkcji w punkcie

(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji całej rodziny funkcji, takiej że poszczególne funkcje zależą od argumentu tj.

Jeśli jest przekształceniem liniowym z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie wyznaczone przez dany argument odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym pomiędzy argumentem a funkcją – funkcję – nazywa się wtedy dualną do funkcji a obydwie funkcje są funkcjonałami liniowymi.

Całka oznaczona[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Całka oznaczona.

Całki postaci

gdzie:

– funkcja o wartościach rzeczywistych,

tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję na liczbę rzeczywistą.

W szczególności należą do tej klasy:

  • pole pod wykresem nieujemnej funkcji

Iloczyn skalarny[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Iloczyn skalarny.

Dla danego wektora z przestrzeni wektorowej iloczyn skalarny z wektorem oznaczony lub jest skalarem. Dlatego wyznacza funkcjonał:

Równanie funkcyjne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Równanie funkcyjne.

Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci są funkcje, dla których wartości funkcjonałów i są równe. Na przykład funkcja jest addytywna, jeśli spełnia równanie funkcyjne:

Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna[edytuj | edytuj kod]

Pochodna funkcjonalna niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w mechanice klasycznej i rachunku wariacyjnym.

Richard Feynman zastosował całki funkcjonalne w swoim sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną przestrzenią funkcyjną.

Forma a funkcjonał[edytuj | edytuj kod]

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał:

(1) Gleichgewicht[1] wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od określenia forma. Ten ostatni termin oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:

[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci
zwanej formą liniową, [...]

a potem

(10.4)
[...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową.

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.

(2) Lang[2] używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej (nad ciałem ) w ciało Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd.).

  • Natomiast Komorowski[3] używa jedynie określenia forma, pisząc:
Elementy przestrzeni nazywamy formami liniowymi na często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.

W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:

Elementy p.w. nazywamy formami n-liniowymi.

(3) Musielak[4] pisze:

[...] operator liniowy nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s. 175–177, ISBN 83-01-03903-5.
  2. Serge Lang: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973.
  3. Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 68.
  4. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. 120.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]