Funkcjonał

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcjonał – w matematyce to przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń. Jest to funkcja, której argumentami są wektory, a wartościami skalary. Często tą przestrzenią jest przestrzeń funkcji - wtedy argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem uważany jest za funkcję funkcji.

Funkcjonał to szczególny przypadek przekształcenia działającego na funkcjach, czyli operatora.

Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu funkcji ekstremalizującej pewien funkcjonał. Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Dualność[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Moduł dualny.

Funkcja

x_0\mapsto f(x_0)

przekształca argument x_0 na wartość funkcji f punkcie x_0. Natomiast funkcjonał

f\mapsto f(x_0)

przekształca funkcję f na jej wartość w punkcie x_0.

Jeśli f jest przekształceniem liniowym z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie wyznaczone przez x_0 jest dualne do funkcji f i obydwa przekształcenia są funcjonałami liniowymi.

Całka oznaczona[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Całka oznaczona.

Całki postaci

f\mapsto I[f]=\int_{a}^{b} H(f(x),f'(x),\ldots)\;\mbox{d}x

gdzie:

H – funkcja o wartościach rzeczywistych,

tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję f na liczbę rzeczywistą. W szczególności należą do tej klasy:

  • pole pod wykresem nieujemnej funkcji f
f\mapsto\int_{x_0}^{x_1}f(x)\;\mathrm{d}x
f\mapsto \left(\int|f|^p \; \mathrm{d}x\right)^{1/p}
f \mapsto \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{ 1+|f'(x)|^2 } \; \mathrm{d}x

Iloczyn skalarny[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Iloczyn skalarny.

Dla danego wektora \vec{x} z przestrzeni wektorowej X, iloczyn skalarny \vec{x} z wektorem \vec{y} oznaczony \vec{x}\cdot\vec{y} lub \langle \vec{x},\vec{y} \rangle jest skalarem. Dlatego \vec{x} wyznacza funkcjonał:

\vec{y} \mapsto \vec{x}\cdot\vec{y}.

Równanie funkcyjne[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Równanie funkcyjne.

Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci F = G są funkcje, dla których wartości funkcjonałów F i G są równe. Na przykład funkcja jest addytywna jeśli spełnia równanie funkcyjne:

f\left(x+y\right) = f\left(x\right) + f\left(y\right).

Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna[edytuj | edytuj kod]

Pochodna funkcjonalna niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w mechanice klasycznej i rachunku wariacyjnym.

Richard Feynman zastosował całki funkcjonalne w swoim sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną przestrzenią funkcyjną.

Forma a funkcjonał[edytuj | edytuj kod]

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał.

  • Gleichgewicht[1] wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od zwrotu forma. Ten ostatni zwrot oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:
[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci
f(x)=\alpha_1\xi_1+\alpha_2\xi_2+\ldots+\alpha_n\xi_n
zwanej formą liniową [...]

a potem

(10.4) \varphi(x,y)=\sum_{i,j=1}^n\alpha_{ij}\xi_i\eta_j
[...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. f,\varphi powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.

  • Lang[2] używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej  V (nad ciałem  K ) w ciało  K . Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd).
  • Natomiast Komorowski[3] używa jedynie określenia forma, pisząc
Elementy przestrzeni V^* nazywamy formami liniowymi na  V ; często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.

W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:

Elementy p.w. L(V_1,\ldots,V_n; K) nazywamy formami n-liniowymi.
  • Musielak[4] pisze
[...] operator liniowy T:X\longrightarrow {\mathbf K} nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 175-177. ISBN 83-01-03903-5
  2. Lang, Serge: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973.
  3. Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strona 68.
  4. Musielak, Julian: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976. Strona 120

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]