Iloczyn diadyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Iloczyn diadyczny – to iloczyn wektora (kolumnowego) z wektorem (wierszowym) tego samego wymiaru, dający tensor 2-go rzędu, np.

Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego wektorów (gdzie wymiary wektorów nie muszą być równe, a wektory mogą być dowolnego typu, np. 2 wektory kolumnowe lub 2 wierszowe) lub ogólniej – iloczynu tensorowego macierzy.

Definicja ogólna[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dane są:

(1) baza wektorów kolumnowych przestrzeni wektorowej

(2) odpowiadająca jej baza wektorów wierszowych

(3) wektory zapisane w tych bazach

to iloczyn diadyczny ma postać

gdzie macierz wymiaru której element a pozostałe elementy są równe zeru. Macierze te stanowią bazę tensora, tzn. dowolny tensor rzędu 2-go można wyrazić jako kombinację liniową tych macierzy bazowych.

Np. dla przestrzeni wektorowej 3-wymiarowej mamy 9 macierzy np.

Twierdzenie o śladzie iloczynu diadycznego[edytuj | edytuj kod]

Dowodzi się, że w ogólności słuszne jest twierdzenie

Tw. Ślad iloczynu diadycznego wektorów jest równy ich iloczynowi skalarnemu

Przykład: Niech będą dane wektory

Ich iloczyn diadyczny wynosi

oraz ślad macierzy wynosi

– i jest on równy iloczynowi skalarnemu wektorów gdyż

Nieprzemienność iloczynu diadycznego[edytuj | edytuj kod]

Przykład: Niech będą dane wektory

Ich iloczyn diadyczny wynosi

Porównując powyższy wynik z iloczynem diadycznym z wcześniejszego rozdziału, widać, że iloczyn diadyczny nie jest przemienny

Tylko w szczególnych przypadkach może zachodzić przemienność iloczynu diadycznego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.