Iloczyn Kroneckera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Iloczynem Kroneckera (iloczynem tensorowym) macierzy rzeczywistych i macierzy nazywa się macierz o postaci

o wymiarze .

Z definicji wynika, że macierze i mogą być dowolnych rozmiarów. (Zwykły iloczyn macierzy jest bardziej restrykcyjny, gdyż liczba kolumn pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy drugiej macierzy.) W szczególności można mnożyć tensorowo dwa wektory kolumnowe, dwa wektory wierszowe oraz wektor kolumnowy i wierszowy (np. iloczyn diadyczny).

Nazwa iloczynu pochodzi od Leopolda Kroneckera, chociaż już przed nim, w 1858 r., tę operację na macierzach opisał Johann Georg Zehfuss.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(1) Iloczyn tensorowy wektorów kolumnowych daje wektor kolumnowy

(2) Iloczyn tensorowy wektorów wierszowych daje wektor wierszowy

(3) Iloczyn tensorowy wektora kolumnowego przez wektor wierszowy daje macierz

(4) Iloczyn tensorowy wektora wierszowego przez wektor kolumnowy daje macierz

(5) Iloczyn tensorowy dwóch macierzy daje macierz

Własności iloczynu[edytuj | edytuj kod]

Nieprzemienność[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn tensorowy macierzy jest zazwyczaj nieprzemienny, podobnie jak zwykły iloczyn macierzy, tj.

Mnożenie mieszane (tensorowo-zwykłe)[edytuj | edytuj kod]

Jeśli macierze są takie, że zwykłe iloczyny macierzy i istnieją, to iloczyn zwykły dwóch iloczynów tensorowych jest równy iloczynowi tensorowemu odpowiednich iloczynów zwykłych macierzy, w ten sposób że:

Odwrotność iloczynu tensorowego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli macierze odwracalne, to:

  • odwracalna jest macierz oraz
  • odwrotność macierzy jest równa iloczynowi tensorowemu odwrotności macierzy przez odwrotność macierzy , tj.

Rozdzielność względem dodawania[edytuj | edytuj kod]

Zachodzi rozdzielność mnożenia tensorowego macierzy przez sumę macierzy (przy czym zakłada się, że macierze są tych samych wymiarów), tj.

Transpozycja iloczynu tensorowego[edytuj | edytuj kod]

Transpozycja iloczynu tensorowego macierzy jest równa iloczynowi tensorowemu transpozycji tych macierzy, tj.

Iloczyn tensorowy macierzy kwadratowych[edytuj | edytuj kod]

Wyznacznik, rząd, ślad[edytuj | edytuj kod]

Jeśli macierze są macierzami kwadratowymi wymiarów odpowiednio m i n, to

wyznacznik (det), rząd (rz) oraz ślad (tr) macierzy będącej iloczynem tensorowym wyrażają się przez iloczyny wyznaczników, śladów i rzędów mnożonych tensorowo macierzy wg wzorów:

Wartości własne[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz są zbiorami wszystkich wartości własnych odpowiednio macierzy oraz . Wtedy zbiór wszystkich wartości własnych iloczynu tensorowego tworzą iloczyny wartości własnych , tj.

Wzór ogólny na współczynniki macierzy [edytuj | edytuj kod]

Niech oraz . Wtedy współczynniki macierzy będącej iloczynem Kroneckera dane są wzorem

gdzie div oznacza dzielenie całkowitoliczbowe.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979 r.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]