Tensor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Definicja intuicyjna


Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość (tablica liczb), której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

Tensor, wielkość tensorowa – obiekt matematyczny będący uogólnieniem pojęcia wektora[a].

Zbiór wszystkich tensorów wraz z odpowiednimi działaniami nazywamy przestrzenią tensorową. Przestrzeń tensorowa jest sumą prostą przeliczalnej liczby przestrzeni liniowych.

Tensory, podobnie jak wektory mogą być swobodne, zaczepione[potrzebne źródło] oraz można rozważać pola tensorowe, często nazywane w skrócie tensorami. Tensory w mniej ścisłym znaczeniu, które zmieniają się przy zmianie skali, bardziej ściśle nazywa się gęstościami tensorowymi

Potocznie tensorami nazywa się tylko tensory drugiego rzędu.

Cel[edytuj | edytuj kod]

Aby opisać jakąś geometryczną przestrzeń, np. czasoprzestrzeń fizyczną, wprowadza się w niej układ współrzędnych. Jednak definiowanie układu współrzędnych jest rzeczą sztuczną, w rzeczywistości twór taki nigdzie nie występuje. Poza tym układy współrzędnych można zawsze wybierać na wiele sposobów. Co więcej, czasami nie wiadomo, czy jakaś matematyczna własność jest cechą samej przestrzeni, czy tylko układu współrzędnych. Dlatego wprowadza się matematyczne obiekty nazywane tensorami, które mają być niezależne od wyboru układu współrzędnych. Z wyrażeń tensorowych można tworzyć równania. Równanie takie nazywamy równaniem tensorowym lub tożsamością tensorową, jeżeli zachodzi ona zawsze, przy każdym wyborze układu współrzędnych. Prawa fizyki powinny dać się zapisać jako równania tensorowe.

Rachunek wektorowy był przez długi czas dla matematyków wystarczający, ponieważ rozważano tylko jeden układ współrzędnych: ortonormalny układ kartezjański. Z czasem zaszła potrzeba rozważania innych układów, np. kartezjańskich ukośnokątnych lub krzywoliniowych. W dodatku w obrębie zainteresowań matematyków pojawiły się przestrzenie zakrzywione, w których nie da się zdefiniować prostoliniowego układu współrzędnych. Dlatego konieczne stało się używanie rachunku tensorowego.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathbb{V} będzie przestrzenią liniową nad ciałem \mathbb{K}, natomiast \mathbb{V}^* - przestrzenią do niej sprzężoną oraz niech p i q będą nieujemnymi liczbami całkowitymi. Rozważmy iloczyn kartezjański

\mathbb{V}^p\times (\mathbb{V}^*)^q := \underbrace{\mathbb{V}\times \ldots \times \mathbb{V}}_p \times \underbrace{\mathbb{V}^*\times \ldots \times \mathbb{V}^*}_q.

Każdą (p+q)-liniową funkcję[b]

F \colon \mathbb{V}^p\times (\mathbb{V}^*)^q\to \mathbb{K}

nazywamy tensorem na \mathbb{V} (typu (p, \ q) i rzędu p+q) p-krotnie kowariantnym i q-krotnie kontrawariantnym. Dla p=0 mówi się o tensorze kontrawariantnym a dla q=0, o tensorze kowariantnym. Z definicji tensora wprost wynika, że elementy przestrzeni dualnej \mathbb{V}^* to tensory typu (1,\ 0). Elementy przestrzeni \mathbb{V} utożsamia się z tensorami typu (0,\ 1). Ponadto przyjmuje się, że tensory typu (0,\ 0) to skalary (elementy ciała \mathbb{K}).

Przestrzeń tensorowa[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathbb{V} będzie przestrzenią linową nad ciałem \mathbb{K}. Zbiór T^p_q(\mathbb{V})[c] wszystkich tensorów typu (p,\ q) na \mathbb{V} tworzy przestrzeń liniową z działaniami określonymi punktowo:

(S+T)(u_1,...,u_p,v_1,...,v_q):=S(u_1,...,u_p,v_1,...,v_q)+T(u_1,...,u_p,v_1,...,v_q) dla dowolnych u_1,...,\ u_p \in \mathbb{V} oraz v_1,...,v_q \in \mathbb{V}^*

(\alpha \cdot T)(u_1,...,u_p,v_1,...,v_q):=\alpha \cdot T(u_1,...,u_p,v_1,...,v_q) dla dowolnych u_1,...,\ u_p \in \mathbb{V}, v_1,...,\ v_q \in \mathbb{V}^* oraz \alpha \in \mathbb{K}

W przestrzeni tensorów można wprowadzić działanie dwuliniowe: \otimes: T^p_q (\mathbb{V}) \times T^k_l(\mathbb{V}) \rightarrow T^{p+k}_{q+l}(\mathbb{V}) dane wzorem: \otimes (S,\ T)(u_1,...,u_p,u_{p+1},...,u_{p+k}, v_1,...,v_q,v_{q+1},...,v_{q+l}):=S(u_1,...,u_p,v_1,...,v_q)\cdot T(u_{p+1},...,u_{p+k},v_{q+1},...,v_{q+l}). Działanie to nazywa się iloczynem tensorowym i zwykle oznacza S\otimes T[1].

Z definicji iloczynu tensorowego wynikają następujące własności[2]:

  • (R\otimes S)\otimes T=R\otimes (S\otimes T) dla R\in T^p_q(\mathbb{V}),\ S\in T^k_l(\mathbb{V}),\ T\in T^m_n(\mathbb{V})
  • (S_1+S_2)\otimes T=S_1 \otimes T+S_2\otimes T dla S_1,\ S_2 \in T^p_q(\mathbb{V}),\ T\in T^k_l(\mathbb{V})
  • S\otimes (T_1 + T_2)=S \otimes T_1 + S \otimes T_2 dla S \in T^p_q(\mathbb{V}),\ T_1,\ T_2 \in T^k_l(\mathbb{V})
  • (\alpha \cdot S)\otimes T=S\otimes (\alpha \cdot T)=\alpha \cdot (S \otimes T ) dla S \in T^p_q(\mathbb{V}),\ T\in T^k_l(\mathbb{V}), \ \alpha \in \mathbb{K}

Iloczyn tensorowy nie jest przemienny, tzn. na ogół S\otimes T \neq T \otimes S [2].

Jeśli przestrzeń \mathbb{V} jest skończenie wymiarowa oraz zbiór B:=\{e_1, \ldots ,e_p \} jest jej bazą, to w przestrzeni sprzężonej można rozważać bazę sprzężoną do B, tzn. zbiór takich funkcjonałów liniowych d_1,\ldots ,d_p na przestrzeni \mathbb{V}, że d_i(e_j)=1 gdy i=j oraz d_i(e_j)=0 w przeciwnym przypadku. Każdy tensor na przestrzeni \mathbb{V} można wówczas przedstawić w postaci

T = \sum _{i_1,\ldots, i_m, j_1,\ldots ,j_n=1}^p r_{i_1\ldots i_m j_1\ldots j_n}  d _{i_1} \otimes \ldots \otimes d_{i_m}\otimes e_{j_1}\ldots \otimes e_{j_n}

dla pewnych skalarów r_{i_1\ldots i_m j_1\ldots j_n} \in \mathbb{K}, i_1,\ldots, i_m, j_1 ,\ldots, j_n \in \{1,\ldots,p\}. Istotnie: r_{i_1\ldots i_mj_1\ldots j_n}=T(e_{i_1},\ldots ,e_{i_m},d_{j_1},\ldots ,d_{j_n}). Ponadto tensory d_{i_1} \otimes ... \otimes d_{i_m} \otimes e _{j_1} \otimes ... \otimes e_{j_n} \in T^m_n(\mathbb{V}),\ i_1,\ldots ,i_m,j_1,\ldots,j_n\in \{1,\ldots,p \} są liniowo niezależne. Wynika stąd, że zbiór \{d_{i_1} \otimes ... \otimes d_{i_m} \otimes e _{j_1} \otimes ... \otimes e_{j_n} \in T^m_n(\mathbb{V}):i_1,\ldots ,i_m,j_1,\ldots,j_n\in \{1,\ldots,p \}\} jest bazą przestrzeni T^m_n(\mathbb{V}). Gdy w przestrzeni \mathbb{V} przechodzimy do innej bazy, to współrzędne tensorów (często nazywane składowymi) transformują się zgodnie z łatwymi do wyprowadzenia wzorami.

Współrzędne zwykle grupuje się w wielowymiarowe tabelki (macierze). Pojedyncze równanie tensorowe staje się układem równań na współrzędnych. Pojawia się tutaj główna zaleta rachunku tensorowego: współrzędne są zależne od układu współrzędnych, jednak równania na współrzędnych są niezależne, o ile są tylko wykonywane zgodnie z pewnymi regułami.

W literaturze fizycznej tensorami często nazywa się ich współrzędne r_{i_1\ldots i_m j_1 \ldots j_n}[3].

Obiektami podobnymi do wektorów i tensorów są spinory i tensory spinorowe. Uogólnieniem tensorów i tensorów spinorowych jest tzw. obiekt geometryczny[4].

Iloczyn zewnętrzny[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathbb{V} będzie przestrzenią liniową nad ciałem \mathbb{K} i niech T^p(\mathbb{V}):=T^p_0(\mathbb{V}). Niech S_p będzie zbiorem permutacji zbioru \{ 1,...,p\}. Mówimy, że tensor kowariantny F\in T^p(\mathbb{V}) jest symetryczny, gdy dla dowolnej permutacji \sigma \in S_p:

F(v_1,v_2,\ldots v_p)=F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\ldots ,v_{\sigma (p)})

oraz, że jest antysymetryczny, gdy dla dowolnej permutacji \sigma \in S_p

F(v_1,v_2,\ldots,v_p)= \mathrm{sign}(\sigma) F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\ldots ,v_{\sigma (p)})[5].

W T^p(\mathbb{V}) można zdefiniować odwzorowanie \mathbb{S}: \ T^p(\mathbb{V})\rightarrow T^p(\mathbb{V}) dane wzorem:

\mathbb{S}F:=\frac{1}{p!}\sum_{\sigma \in S_p}F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\ldots ,v_{\sigma (p)}) ,

które nazywa się symetryzacją tensora F, oraz odwzorowanie \mathbb{A}:\ T^p(\mathbb{V})\rightarrow T^p(\mathbb{V}) dane wzorem:

\mathbb{A}F:=\frac{1}{p!}\sum_{\sigma \in S_p} \mathrm{sign}(\sigma) F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\ldots ,v_{\sigma (p)}) ,

które nazywa się antysymetryzacją tensora F [6]. Symetryzacja \mathbb{S}F tensora F\in T^p(\mathbb{V}) jest symetrycznym tensorem p -krotnie kowariantnym, natomiast antysymetryzacja \mathbb{A}F jest antysymetrycznym tensorem p -krotnie kowariantnym[6]. Ponadto, jeżeli F\in T^p(\mathbb{V}) jest tensorem symetrycznym, to \mathbb{S}F=F , jeśli zaś F jest tensorem antysymetrycznym, to \mathbb{A}F=F [7]. Ponieważ jedyną permutacją zbioru jednoelementowego jest identyczność i jej znak wynosi 1, to tensor 1-krotnie kowariantny jest jednocześnie symetryczny i antysymetryczny[7].

W matematyce i fizyce szczególne znaczenie[8] mają antysymetryczne tensory kowariantne, zwane formami[9][d] (porównaj: formy różniczkowe). Zbiór wszystkich p-krotnie kowariantnych tensorów antysymetrycznych na przestrzeni liniowej \mathbb{V} oznacza się \Lambda^p(\mathbb{V}). Ponieważ wynikiem zwykłego iloczynu tensorowego tensorów antysymetrycznych może nie być tensor antysymetryczny, to wprowadza się całkowicie antysymetryczny iloczyn tensorowy, nazywany też iloczynem zewnętrznym lub alternującym[9]: \and: \ T^m(\mathbb{V}) \times T^n(\mathbb{V})\rightarrow T^{m+n}(\mathbb{V}), dany wzorem:

\and (F,\ G):=\frac{(m+n)!}{m!n!}\mathbb{A}(F\otimes G).

Zwykle przyjmuje się oznaczenie: F \and G:=\and (F,\ G). Ponieważ \mathbb{A}(F \otimes G) jest tensorem antysymetrycznym, to F \and G również jest tensorem antysymetrycznym. Iloczyn zewnętrzny jest swego rodzaju poprawionym iloczynem tensorowym. Ma następujące własności[10]:

  • (F\and G)\and H=F\and (G \and H) dla F \in \Lambda^k(\mathbb{V}),\ G \in \Lambda^l(\mathbb{V}),\ H\in \Lambda^m (\mathbb{V})
  • (F_1 + F_2) \and G=F_1\and G+F_2 \and G dla F_1,\ F_2 \in \Lambda^k(\mathbb{V}),\ G\in \Lambda^l(\mathbb{V})
  • F\and (G_1+G_2)=F\and G_1+F\and G_2 dla F\in \Lambda^k(\mathbb{V}),\ G_1,\ G_2 \in \Lambda ^l(\mathbb{V})
  • (\alpha F)\and G=F\and (\alpha G)=\alpha (F\and G) dla F\in \Lambda^k(\mathbb{V}),\ G\in \Lambda^l(\mathbb{V}),\ \alpha \in \mathbb{K}
  • F\and G=(-1)^{kl}G\and F dla F\in \Lambda^k(\mathbb{V}),\ G\in \Lambda^l(\mathbb{V}).

Typy tensorów i reprezentacje[edytuj | edytuj kod]

Układy współrzędnych można w siebie przekształcać. Tensory są niezależne od układu współrzędnych, dlatego przekształcanie na nie nie wpływa, ale składowe tensorów przekształcają się wraz z układem współrzędnych. Przekształcenie składowych odbywa się według jakiejś reprezentacji grupy przekształceń układu współrzędnych. Tensory można poklasyfikować według reprezentacji, względem jakich transformują się ich składowe.

  • Skalary – wcale się nie transformują, albo inaczej mówiąc, transformują się według reprezentacji trywialnej
D(\Lambda) = 1\,
oznaczenia:  a, X, r\,
  • Wektory, wektory kontrawariantne – transformują się względem reprezentacji odwrotnej do grupy przekształceń
D(\Lambda) = (\Lambda)^{-1}\,
oznaczenia:  b^{\mu}, p^{\nu}, x^{\rho} \,
  • Kowektory, wektory kowariantne, jednoformy – transformują się względem reprezentacji zgodnej z grupą przekształceń
D(\Lambda) = \Lambda\,
oznaczenia:  f_{\mu}, R_{\nu}, Z_{\rho} \,
  • Tensory drugiego rzędu podwójnie kontrawariantne – transformują się względem reprezentacji będącej iloczynem prostym dwóch reprezentacji przeciwnych do grupy przekształceń
D(\Lambda) = (\Lambda)^{-1} \times (\Lambda)^{-1}
oznaczenia:  g^{\mu \nu}, T^{\nu \mu}, R^{\rho \pi} \,
  • Tensory drugiego rzędu podwójnie kowariantne, dwuformy – transformują się względem reprezentacji będącej iloczynem prostym dwóch reprezentacji zgodnych z grupą przekształceń
D(\Lambda) = \Lambda \times \Lambda
oznaczenia:  g_{\mu \nu}, T_{\nu \mu}, S_{\rho \pi} \,
  • Tensory mieszane drugiego rzędu – transformują się względem reprezentacji będącej iloczynem prostym reprezentacji zgodnej z grupą przekształceń oraz odwrotnej
D(\Lambda) = \Lambda \times (\Lambda)^{-1}
jeśli pierwszy jest indeks dolny, lub
D(\Lambda) = (\Lambda)^{-1} \times \Lambda
jeśli pierwszy jest indeks górny;
oznaczenia:  h^{\;\;\mu}_{\nu}, R^{\nu}_{\;\;\mu}, w^{\rho}_{\pi}
  • Tensory wyższych rzędów – transformują się względem iloczynów prostych odpowiedniej liczby macierzy zgodnych i odwrotnych względem grupy przekształceń, w odpowiedniej kolejności
D(\Lambda) = \Lambda \times \Lambda \times \Lambda \times ... \times (\Lambda)^{-1} \times (\Lambda)^{-1} \times ...
oznaczenia:  K^{\mu \nu \pi ...}_{\rho \sigma \tau ...}
  • Pseudoskalary – zachowują się jak skalary, ale zmieniają znak podczas transformacji odbicia
D(\Lambda) = \det{\Lambda}\,
oznaczenia: jak skalary
  • Pseudowektory, wektory osiowe, wektory aksjalne – zarówno kowariantne jak i kontrawariantne; transformują się jak wektory, ale nie zmieniają znaku podczas transformacji odbicia (zwykłe wektory zmieniają)
D(\Lambda) = (\det{\Lambda}) \Lambda\, lub D(\Lambda) = (\det{\Lambda}) (\Lambda)^{-1}\,
oznaczenia: jak odpowiednie wektory
  • Spinory – transformują się względem reprezentacji spinorowej grupy przekształceń, czasem pomnożonej przez zwykłe reprezentacje tensorowe
D(\Lambda) = S(\Lambda) \times \Lambda \times ...
oznaczenia: Q^{a \mu}_{\nu b}

Działania[edytuj | edytuj kod]

Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowej, zaczynamy od wyboru jakiegoś ciała \mathbb{K}; najczęściej jest to ciało liczb zespolonych. Weźmy zbiór wszystkich funkcji, które każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowują element ciała \mathbb{K}. Funkcje takie nazywamy polami skalarnymi albo skalarami. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie tych funkcji jest zdefiniowane w sposób naturalny.

W każdej przestrzeni tensorowej istnieje wiele typów tensorów. Przyrównywać do siebie można tylko tensory tego samego typu.

  • Każdy skalar jest tensorem
  • Każdy tensor można pomnożyć przez skalar otrzymując tensor tego samego typu
  • Dwa tensory tego samego typu można dodać, otrzymując tensor tego samego typu
  • Dwa tensory tego samego typu można odjąć, otrzymując tensor tego samego typu
  • Dla dwóch tensorów dowolnych typów można obliczyć iloczyn zewnętrzny, otrzymując tensor innego typu
  • Tensor odpowiedniego typu można poddać kontrakcji, otrzymując tensor innego typu
  • Łącząc działania mnożenia zewnętrznego i kontrakcji można dla dwóch tensorów obliczyć iloczyn wewnętrzny otrzymując tensor innego typu; czasem również nazywa się to działanie kontrakcją
  • Odpowiedni (różniczkowalny) tensor (właściwie pole tensorowe) dowolnego typu można poddać różniczkowaniu otrzymując tensor innego typu zwany pochodną kowariantną tego tensora
  • Łącząc działania różniczkowania i kontrakcji na różne sposoby można zdefiniować działania dywergencji i rotacji
  • Tensor odpowiedniego typu można transponować, otrzymując tensor tego samego typu

Niektóre szczególne przypadki działań mają specjalne nazwy.

  • Pochodną kowariantną skalara nazywamy gradientem
  • Iloczyn wewnętrzny dwóch wektorów nazywamy iloczynem skalarnym
  • Dodawanie tensora do jego transpozycji nazywamy symetryzacją
  • Odejmowanie tensora od jego transpozycji nazywamy antysymetryzacją
  • Kontrakcja tensora mieszanego drugiego rzędu nazywa się obliczaniem śladu

Rząd tensora[edytuj | edytuj kod]

Wizualizacja symbolu Leviego-Civity w trzech wymiarach jako tablicy 3×3×3. (W czterech wymiarach jest to tablica 4×4×4×4 itd.)

Tensory można reprezentować jako tablice liczb. Ich wymiar nazywamy w tym wypadku rzędem tensora: wielkość skalarna to tensor rzędu zerowego – posiada tylko jedną składową; wektor jest tensorem rzędu pierwszego, czyli jednowymiarową tablicą i posiada w przestrzeni 3-wymiarowej trzy składowe. Tensory drugiego rzędu można zapisać jako macierze kwadratowe. np. tensor pola elektromagnetycznego, który ma rząd równy 2, w fizyce relatywistycznej reprezentowany jest przez macierz o wymiarze 4 na 4 czyli o 16 składowych (z czego 6 niezależnych). Rozważane są także tensory wyższych rzędów, czyli więcejwymiarowe tablice.

Obok tensorów o całkowitym rzędzie (wymienionych powyżej) rozważa się także wielkości zwane spinorami, których własności transformacyjne są bardziej złożone, jednak nadal określone poprawnie w ramach rachunku tensorowego. Wielkości te można uważać za tensory, jednak ich rząd należy określić jako ułamkowy.[potrzebne źródło] Jako przykład można podać funkcję falową elektronu czy dowolnego innego fermionu, której własności transformacyjne ze względu na działanie grupy obrotów są takie, że możemy mówić o niej jako o tensorze obdarzonym ułamkowym rzędem tensorowym[potrzebne źródło], np. w wypadku elektronu o rzędzie 1/2.

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Tensory oznacza się zwykle literami (dużymi i małymi, greckimi i łacińskimi), czasem z dodatkowymi akcentami, jak kreski, kropki i gwiazdki. Przy literach tych stoją rozmaite indeksy, których ilość, pozycja i alfabet zależą od typu tensora. Skalary nie mają żadnych indeksów. Najczęściej spotyka się następujące oznaczenia:

  • Indeksy kontrawariantne – małe litery greckie od \mu wzwyż stojące u góry: T^{\mu} (Takiego zapisu nie należy mylić z potęgowaniem)
  • Indeksy kowariantne – małe litery greckie od \mu wzwyż stojące u dołu: T_{\nu}
  • Indeksy spinorowe – małe litery łacińskie od a wzwyż (lub greckie od \alpha wzwyż), stojące u góry lub u dołu T^{b}

Jeden tensor może mieć wiele indeksów: T^{\mu \nu a}_{\; \; \; \; \; \; \pi b \rho} {}^{\sigma}. Często kolejność indeksów jest nieistotna (tensor symetryczny) lub znana z kontekstu. Wtedy dla uproszczenia można zapisać: T^{\mu \nu a \sigma}_{\pi b \rho}.

Tensor drugiego rzędu zamiast zapisu z indeksami T^{\mu \nu}, może być oznaczony daszkiem \hat{T} lub podwójną strzałką \stackrel{\leftrightarrow}{T} dla odróżnienia od skalarów i wektorów. Drugi zapis pozwala odróżnić je od operatorów w mechanice kwantowej.

Dodawanie tensorów oznacza się znakiem +; indeksy tensorów muszą się zgadzać

A^{\mu}_{\;\; \nu \pi} + B^{\mu}_{\;\; \nu \pi} = C^{\mu}_{\;\; \nu \pi}

Odejmowanie znakiem -; indeksy tensorów muszą się zgadzać

X^{\mu \nu}_{\; \; \;\;\pi \rho} - Y^{\mu \nu}_{\;\;\;\;\pi \rho} = Z^{\mu \nu}_{\;\;\;\;\pi \rho}

Mnożenie zewnętrzne znakiem \cdot, który można pominąć; indeksy tensorów nie mogą się powtarzać

r^{\mu \nu}_{\; \;\;\; \rho} \cdot s^{\pi}_{\;\; \sigma} = t^{\mu \nu}_{\; \;\;\; \rho} {}^{\pi}_{\;\; \sigma}

Kontrakcję zapisuje się przez powtórzenie tego samego indeksu u góry i u dołu

U^{\mu \nu \pi}_{\rho \sigma \nu} = V^{\mu \pi}_{\rho \sigma} (powtórzył się symbol \nu)

Mnożenie wewnętrzne to połączenie mnożenia zewnętrznego i kontrakcji

f^{\mu \nu}_{\rho} \cdot g^{\rho}_{\sigma} = h^{\mu \nu}_{\sigma} (powtórzył się symbol \rho)

Zwróć uwagę na podobieństwo zapisu kontrakcji i iloczynu wewnętrznego do konwencji sumacyjnej.

Różniczkowanie oznacza się na różne sposoby: albo przez zapis "operatorowy":

\partial_{\mu} R^{\nu}
\operatorname{D}_{\mu} R^{\nu}

albo "indeksowy" z użyciem przecinka lub średnika

R^{\nu}_{,\mu}
R^{\nu}_{;\mu}

Transpozycję zapisuje się jako przestawienie indeksów tego samego typu:

M^{\mu \nu} = N^{\nu \mu}

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Zwykle w zastosowaniach inżynierskich, jeśli nie podaje się inaczej, rozważa się tensory zdefiniowane nad euklidesową przestrzenią wektorową położeń i własności tensora podczas zmian układu współrzędnych związanych z obrotami. Jednak w wielu dziedzinach (zwłaszcza fizyki) rozważa się rozmaite typy i rodzaje przekształceń zdefiniowanych nad nietrywialnymi przestrzeniami liniowymi często np. funkcyjnymi co powoduje, że rozważane tam tensory mają o wiele bardziej skomplikowaną naturę. Matematyka zaś bada własności tensorów niejako niezależnie od przestrzeni nad którą one działają.

Przykłady tensorów w fizyce[edytuj | edytuj kod]

Przykłady tensorów w fizyce:

W fizyce zwykle wymaga się, aby wielkości fizyczne miały określony i poprawnie zdefiniowany charakter tensorowy, co sprowadza się do warunku, aby były określone ich własności transformacyjne podczas zamiany układu współrzędnych.

Uwagi

  1. Wektora w sensie "szkolnym". W algebrze liniowej wektor to element dowolnej przestrzeni liniowej, w tym sensie tensor jest szczególnym przypadkiem wektora.
  2. Definicję tensora można nieco uogólnić, zastępując przestrzeń liniową nad ciałem modułem nad algebrą przemienną.
  3. Niektórzy autorzy (np. W. Thirring) zamieniają miejscami indeksy w tym oznaczeniu.
  4. Musielak i Skrzypczak formami nazywają wszystkie tensory kowariantne.

Przypisy

  1. L. Górniewicz, R. S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, Wydawnictwo naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, 2012, s. 400
  2. a b L. Górniewicz, R. S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, Wydawnictwo naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, 2012, s. 401
  3. W. Thirring, Fizyka matematyczna tom 1 Klasyczne układy dynamiczne, PWN, 1985, s. 54
  4. P. K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. PWN, 1958, s. 154, 155, 160.
  5. J. Musielak, L. Skrzypczak Analiza matematyczna Tom III Część 2, Wydawnictwo Naukowe UAM, 2006, s. 93
  6. a b J. Musielak, L. Skrzypczak, Analiza matematyczna Tom III Część 2, Wydawnictwo Naukowe UAM, 2006, s. 94.
  7. a b J. Musielak, L. Skrzypczak, Analiza matematyczna Tom III Część 2, Wydawnictwo Naukowe UAM, 2006, s. 95.
  8. W. Thirring, Fizyka matematyczna Tom 2 Klasyczna teoria pola, PWN, 1985, s. 21.
  9. a b W. Thirring Fizyka matematyczna Tom 1 Klasyczne układy dynamiczne, PWN, 1985, s. 62
  10. J. Musielak, L. Skrzypczak Analiza matematyczna Tom III Część 2., Wydawnictwo Naukowe UAM, 2006, s. 99.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]