Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta \mathcal{H}_1 i \mathcal{H}_2 – najmniejsza w sensie izomorfizmu przestrzeń Hilberta, która zawiera iloczyn tensorowy \mathcal{H}_1 i \mathcal{H}_2 jako przestrzeni liniowych, dla której iloczyn skalarny tensorów (elementów ilocznu tensorowego przestrzeni liniowych \mathcal{H}_1 i \mathcal{H}_2) jest iloczynem odpowiednich iloczynów skalarnych.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \mathcal{H}_1 i \mathcal{H}_2 są przestrzeniami Hilberta z iloczynami skalarnymi, odpowiednio, \langle \cdot,\cdot \rangle_1 i \langle \cdot, \cdot \rangle_2, to wzór

 \langle\phi_1\otimes\phi_2,\psi_1\otimes\psi_2\rangle = \langle\phi_1,\psi_1\rangle_1 \, \langle\phi_2,\psi_2\rangle_2,\,\ \phi_1,\psi_1 \in \mathcal{H}_1,\, \phi_2,\psi_2 \in \mathcal{H}_2

definiuje iloczyn skalarny w iloczynie tensorowym przestrzeni liniowych \mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2. Jeżeli przynajmniej jedna z rozpatrywanych przestrzeni Hilberta jest nieskończenie wymiarowa, to przestrzeń unitarna

(\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2, \langle \cdot, \cdot \rangle)

nie jest zupełna (nie jest przestrzenią Hilberta). Iloczynem tensorowym przestrzeni Hilberta \mathcal{H}_1 i \mathcal{H}_2 nazywa się uzupełnienie powyższej przestrzeni unitarnej (do przestrzeni Hilberta). Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta oznacza się takim samym symbolem, jak iloczyn tensorowy tych przestrzeni jako przestrzeni liniowych, tj.

\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2,

o ile nie prowadzi to do nieporozumień.

W iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta występują elementy (uzupełnienia), które nie są tensorami w sensie iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych, tj. nie są postaci \sum_{i=1}^{n} \varphi_i \otimes \psi_i.

Baza ortonormalna iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \mathcal{E}_1 i \mathcal{E}_2bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni \mathcal{H}_1 i \mathcal{H}_2, to zbiór

\left\{ e_1 \otimes e_2 \colon e_1 \in \mathcal{E}_1, e_2 \in \mathcal{E}_2\right\}

jest bazą ortonormalną iloczynu tensorowego \mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2.

Przykład: iloczyn tensorowy przestrzeni L²[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \mu i \numiarami σ-skończonymi, to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm iloczynu tensorowego

L^2(\mu)\otimes L^2(\nu)

na przestrzeń

L^2(\mu\otimes \nu),

że f \otimes g \mapsto fg. Symbol \mu\otimes \nu oznacza miarę produktową miar \mu i \nu.

W przypadku, gdy zbiór A jest dowolnym zbiorem oraz \mu jest miarą liczącą na A, to

L^2(\mu)=\ell^2(A).

Jeżeli zbiór A jest nieprzeliczalny, to miara \mu nie jest σ-skończona. Pomimo tego, nawet w przypadku, gdy któryś ze zbiorów A lub B jest nieprzeliczalny, iloczyn tensorowy

\ell^2(A)\otimes \ell^2(B)

jest izometryczny z przestrzenią

\ell^2(A\times B).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Joachim Weidmann: Linear operators in Hilbert spaces. Springer, 1980, s. 47-49, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-0387904276. (ang.)
  2. Svante Janson: Gaussian Hilbert spaces. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, s. 318, seria: Cambridge Tracts in Mathematics. 129. ISBN 9780521561280. (ang.)
  3. Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 50. ISBN 9780125850506. (ang.)