Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta i – najmniejsza w sensie izomorfizmu przestrzeń Hilberta, która zawiera iloczyn tensorowy i jako przestrzeni liniowych, dla której iloczyn skalarny tensorów (elementów iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych i ) jest iloczynem odpowiednich iloczynów skalarnych.

Konstrukcja[edytuj]

Jeżeli i są przestrzeniami Hilberta z iloczynami skalarnymi, odpowiednio, i , to wzór

definiuje iloczyn skalarny w iloczynie tensorowym przestrzeni liniowych . Jeżeli przynajmniej jedna z rozpatrywanych przestrzeni Hilberta jest nieskończenie wymiarowa, to przestrzeń unitarna

nie jest zupełna (nie jest przestrzenią Hilberta). Iloczynem tensorowym przestrzeni Hilberta i nazywa się uzupełnienie powyższej przestrzeni unitarnej (do przestrzeni Hilberta). Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta oznacza się takim samym symbolem, jak iloczyn tensorowy tych przestrzeni jako przestrzeni liniowych, tj.

,

o ile nie prowadzi to do nieporozumień.

W iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta występują elementy (uzupełnienia), które nie są tensorami w sensie iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych, tj. nie są postaci .

Baza ortonormalna iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta[edytuj]

Jeżeli i bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni i , to zbiór

jest bazą ortonormalną iloczynu tensorowego .

Przykład: iloczyn tensorowy przestrzeni L²[edytuj]

Jeżeli i miarami σ-skończonymi, to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm iloczynu tensorowego

na przestrzeń

,

że . Symbol oznacza miarę produktową miar i .

W przypadku, gdy zbiór jest dowolnym zbiorem oraz jest miarą liczącą na , to

.

Jeżeli zbiór jest nieprzeliczalny, to miara nie jest σ-skończona. Pomimo tego, nawet w przypadku, gdy któryś ze zbiorów lub jest nieprzeliczalny, iloczyn tensorowy

jest izometryczny z przestrzenią

.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  1. Joachim Weidmann: Linear operators in Hilbert spaces. Springer, 1980, s. 47-49, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-0387904276. (ang.)
  2. Svante Janson: Gaussian Hilbert spaces. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, s. 318, seria: Cambridge Tracts in Mathematics. 129. ISBN 9780521561280. (ang.)
  3. Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 50. ISBN 9780125850506. (ang.)