Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta i przestrzeń Hilberta, utworzona z iloczynu tensorowego przestrzeni i traktowanych jako przestrzenie liniowe, z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym (patrz niżej).

Definicja iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Iloczynem tensorowym przestrzeni Hilberta i nazywa się przestrzeń linową, taką że:

(1) bazę przestrzeni stanowi zbiór wektorów

gdzie:
i - bazy ortonormalne odpowiednio w przestrzeni i

- iloczyn tensorowy wektorów baz

(2) iloczyn skalarny wektorów jest zdefiniowany następująco:

Jeżeli i są przestrzeniami Hilberta z iloczynami skalarnymi, odpowiednio, i , to iloczyn skalarny w iloczynie tensorowym definiuje wzór

gdzie:

Zdefiniowanie iloczynu skalarnego w iloczynie przestrzeni przekształca go w przestrzenią unitarną. Jeżeli jednak przynajmniej jedna z rozpatrywanych przestrzeni Hilberta jest nieskończenie wymiarowa, to przestrzeń unitarna

nie jest zupełna (nie jest przestrzenią Hilberta).

Uwaga:

Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta oznacza się takim samym symbolem, jak iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych, tj. ; o jaki dokładnie iloczyn chodzi, wynika z kontekstu: iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ma dodatkową strukturę, zdefiniowaną przez iloczyn skalarny.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  1. Iloczyn tensorowy jest przestrzenią Hilberta o wymiarze równym iloczynowi wymiarów przestrzeni i .
  2. W iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta występują wektory, których nie da się przedstawić w postaci iloczynu tensorowego dwóch wektorów , takich że, ale są w ogólności dowolnymi kombinacjami liniowymi takich wektorów, tj.

Przykład takiego stanu podano w Przykładzie 2.

Przykład 1: Iloczyn tensorowy przestrzeni 2-wymiarowych[edytuj | edytuj kod]

Uwaga: W przykładach 1, 2, 3 do oznaczenia wektorów przestrzeni Hilberta użyto notacji Diraca.

(1) Niech będą dane dwie przestrzenie Hilberta:

z bazą ,

z bazą .

Iloczyn tensorowy tych przestrzeni jest przestrzenią Hilberta o wymiarze równym , przy czym bazę tworzą iloczyny tensorowe wektorów bazowych przestrzeni przez wektory bazowe przestrzeni , tj.

,, , .

(2) Iloczyny tensorowe wektorów bazy można przedstawić w postaci wektorów kolumnowych - aby pokazać to, wybierzmy reprezentację wektorów bazy w postaci wektorów kolumnowych, tj.

,

oraz

,

Obliczając iloczyny tensorowe (iloczyny Kroneckera) otrzyma się:

,
,
,
.

Widać, że iloczyny tensorowe wektorów kolumnowych o 2 współrzędnych tworzą wektory kolumnowe o 4 współrzędnych. Powyższe wektory są unormowane do jedności i są wzajemnie ortogonalne, dlatego tworzą bazę ortonormalną 4-wymiarowej przestrzeni Hilberta .

Uwagi:

(1) Iloczyny tensorowe wektorów bazy reprezentowane przez wektory wierszowe utworzyłyby wektory wierszowe 4 współrzędnych.

(2) Gdyby wektory bazy przestrzeni wybrać w postaci wektorów kolumnowych, a wektory bazy przestrzeni w postaci wektorów wierszowych, to iloczyn tensorowy wektorów baz tworzących bazę przestrzeni miałby postać macierzy 2 x 2, np. niech

,
,

wtedy mamy

,
,
,
.

Z powyższego widać, że możliwe są różne reprezentacje wektorów baz rozważanych przestrzeni.

Przykład 2: Stan splątany 2 cząstek[edytuj | edytuj kod]

(1) Załóżmy, że mamy dwie cząstki opisne stanami

Stany te należą do różnych przestrzeni Hilberta i z uwagi na to, że stany te dotyczą różnych cząstek. Iloczyn tensorowy powyższych stanów ma postać:

czyli:

(2) Najbardziej ogólny stan dwóch cząstek - tzw. stan splątany, nie da się prowadzić do powyższego iloczynu tensorowego, ale ma postać dowolnej kombinacji liniowej wektorów bazowych, tj.

gdzie:
lub lub lub

Np. dla stanów

,

iloczyn tensorowy niesplątany ma postać

zaś stan splątany może mieć dowolne współczynniki

Stan taki należy do iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta, a nie należy do iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych. Stany splątane są stanami szczególnymi - nie da się ich rozdzielić na iloczyny poszczególnych stanów. Z racji swoich niezwykłych własności wykorzystuje się je m.in. w procesorach kwantowych, które stanowią nową generację super szybkich komputerów kwantowych, przewyższających szybkością obliczeń powszechne dotąd komputery klasyczne.

Przykład 3: Obliczanie iloczynu skalarnego[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dane są dwa stany i należące odpowiednio do przestrzeni Hilberta i , takie że

to iloczyn tensorowy ma postać (por. Przykład 2):

Iloczyn skalarny powyższego wektora oblicza się licząc iloczyny skalarne wektorów należących do tej samych przestrzeni Hilberta lub , tj.

Przykład 4: Iloczyn tensorowy przestrzeni L²[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli i miarami σ-skończonymi, to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm iloczynu tensorowego

na przestrzeń

że . Symbol oznacza miarę produktową miar i .

W przypadku, gdy zbiór jest dowolnym zbiorem oraz jest miarą liczącą na , to

Jeżeli zbiór jest nieprzeliczalny, to miara nie jest σ-skończona. Pomimo tego, nawet w przypadku, gdy któryś ze zbiorów lub jest nieprzeliczalny, iloczyn tensorowy

jest izometryczny z przestrzenią

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Joachim Weidmann: Linear operators in Hilbert spaces. Springer, 1980, s. 47-49, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-0387904276. (ang.)
  2. Svante Janson: Gaussian Hilbert spaces. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, s. 318, seria: Cambridge Tracts in Mathematics. 129. ISBN 978-0-521-56128-0. (ang.)
  3. Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 50. ISBN 978-0-12-585050-6. (ang.)
  4. Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979 r.
  5. Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, ​ISBN 978-0471569527​.