Ślad (algebra liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Ślad macierzy – w algebrze liniowej suma elementów na głównej przekątnej macierzy kwadratowej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Śladem macierzy A nazywamy wielkość

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}.

Stosuje się również oznaczenia \operatorname{Tr}(A) oraz \operatorname{trace}(A). Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.

Własności[edytuj | edytuj kod]

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA).
  • Jeśli A \in M_n, B \in M_n, C \in M_n, to
\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(CAB) = \operatorname{tr}(BCA) (wszystkie przesunięcia cykliczne), niekoniecznie jednak \operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BAC).

Przekształcenia liniowe[edytuj | edytuj kod]

Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej P zachodzi

\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(PP^{-1}A) = \operatorname{tr}(A).

Niech f\colon V \to V będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni V. Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.

Ślad endomorfizmu można też opisać jawnie: jeżeli X jest n wymiarową przestrzenią wektorową, a θn-liniową niezerową formą alternującą, to odwzorowaniu T można przyporządkować formę n-liniową:

\theta^T : \underbrace{X \times \ldots \times X}_n \ni (X_1, \ldots, x_n) \longmapsto \theta(T x_1, x_2, \ldots, x_N) + \theta(x_1, T x_2, \ldots, x_N) + \ldots + \theta(x_1, x_2, \ldots, T x_N)

Forma ta jest równa \tau \theta, a stałą proporcjonalności można nazwać \operatorname{tr} T. Da się pokazać, że taka zdefiniowany ślad jest równy śladowi macierzy endomorfizmu w dowolnej bazie.

Niech \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n będą wartościami własnymi macierzy A. Ponieważ A można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i.

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}.

Operatory śladowe[edytuj | edytuj kod]

Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.

Niech H będzie przestrzenią Hilberta, (e_i)_{i\in I} jej bazą ortonormalną oraz niech

\mathcal{B}_1(H)=\{AB\colon\; A,B\in \mathcal{B}_2(H)\},

gdzie \mathcal{B}_2(H) oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni H, tj. takich operatorów liniowych i ciągłych A\colon H\to H, że

\|A\|_2:=\left(\sum_{i\in I}\|Ae_i\|^2 \right)^{\frac{1}{2}}<\infty.

Funkcja \operatorname{tr}\colon \mathcal{B}_1(H)\to\mathbb{C}, dana wzorem

\operatorname{tr}(T)=\sum_{i\in I} \langle Te_i, e_i\rangle

nazywana jest śladem.

Operatory należące do \mathcal{B}_1(H) nazywane operatorami śladowymi.

Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni H. W przypadku, gdy H jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.

Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha, na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni Lp na algebrach von Neumanna.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.