Ślad (algebra liniowa)

Ślad macierzy – suma elementów na głównej przekątnej macierzy kwadratowej.

Definicja formalna

Niech $A$ będzie macierzą kwadratową stopnia $n.$ Śladem macierzy $A$ nazywamy wielkość

$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}.$

Stosuje się również oznaczenia $\operatorname {Tr} (A)$ oraz $\operatorname {trace} (A).$ Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.

Własności

• Ślad jest operatorem liniowym. Niech $A,B\in M_{n}(K)$ oraz $r\in K,$ wówczas:
  • $\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$ – addytywność operacji liczenia śladu,
  • $\operatorname {tr} (rA)=r\operatorname {tr} (A)$ – jednorodność operacji liczenia śladu.
• Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, stąd

  $\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{T}).$

• Jeśli $A\in M_{n},B\in M_{n},$ to

$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).$

• Jeśli $A\in M_{n},B\in M_{n},C\in M_{n},$ to

$\operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)$ (wszystkie przesunięcia cykliczne), niekoniecznie jednak $\operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (BAC).$

Przekształcenia liniowe

Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej $P$ zachodzi

$\operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (PP^{-1}A)=\operatorname {tr} (A).$

Niech $f\colon V\to V$ będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni $V.$ Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.

Ślad endomorfizmu można też opisać jawnie: jeżeli $X$ jest $n$ wymiarową przestrzenią wektorową, a $\theta$ – n-liniową niezerową formą alternującą, to odwzorowaniu $T$ można przyporządkować formę n-liniową:

$\theta ^{T}:\underbrace {X\times \ldots \times X} _{n}\ni (x_{1},\dots ,x_{n})\longmapsto \theta (Tx_{1},x_{2},\dots ,x_{N})+\theta (x_{1},Tx_{2},\dots ,x_{N})+\ldots +\theta (x_{1},x_{2},\dots ,Tx_{N})$

Forma ta jest równa $\tau \theta ,$ a stałą proporcjonalności można nazwać $\operatorname {tr} T.$ Da się pokazać, że taka zdefiniowany ślad jest równy śladowi macierzy endomorfizmu w dowolnej bazie.

Niech $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ będą wartościami własnymi macierzy $A.$ Ponieważ $A$ można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}.$

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

$\det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}.$

Operatory śladowe

Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta, $(e_{i})_{i\in I}$ jej bazą ortonormalną oraz niech

${\mathcal {B}}_{1}(H)=\{AB:A,B\in {\mathcal {B}}_{2}(H)\},$

gdzie ${\mathcal {B}}_{2}(H)$ oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni $H,$ tj. takich operatorów liniowych i ciągłych $A\colon H\to H,$ że

$\|A\|_{2}:=\left(\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}<\infty .$

Funkcja $\operatorname {tr} \colon {\mathcal {B}}_{1}(H)\to \mathbb {C} ,$ dana wzorem

$\operatorname {tr} (T)=\sum _{i\in I}\langle Te_{i},e_{i}\rangle$

nazywana jest śladem.

Operatory należące do ${\mathcal {B}}_{1}(H)$ nazywane operatorami śladowymi.

Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni $H.$ W przypadku, gdy $H$ jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.

Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha, na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni $L_{p}$ na algebrach von Neumanna.

Bibliografia

• F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.