Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Ślad macierzy – suma elementów na głównej przekątnej macierzy kwadratowej [1] .
Niech
A
{\displaystyle A}
będzie macierzą kwadratową stopnia
n
.
{\displaystyle n.}
Śladem macierzy
A
{\displaystyle A}
nazywamy wielkość
tr
(
A
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
i
=
a
11
+
a
22
+
⋯
+
a
n
n
.
{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}.}
Stosuje się również oznaczenia
Tr
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Tr} (A)}
oraz
trace
(
A
)
.
{\displaystyle \operatorname {trace} (A).}
Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową .
Ślad jest operatorem liniowym . Niech
A
,
B
∈
M
n
(
K
)
{\displaystyle A,B\in M_{n}(K)}
oraz
r
∈
K
,
{\displaystyle r\in K,}
wówczas:
tr
(
A
+
B
)
=
tr
(
A
)
+
tr
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}
– addytywność operacji liczenia śladu,
tr
(
r
A
)
=
r
tr
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {tr} (rA)=r\operatorname {tr} (A)}
– jednorodność operacji liczenia śladu.
Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji , stąd
tr
(
A
)
=
tr
(
A
T
)
.
{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{T}).}
Jeśli
A
∈
M
n
,
B
∈
M
n
,
{\displaystyle A\in M_{n},B\in M_{n},}
to
tr
(
A
B
)
=
tr
(
B
A
)
.
{\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}
Jeśli
A
∈
M
n
,
B
∈
M
n
,
C
∈
M
n
,
{\displaystyle A\in M_{n},B\in M_{n},C\in M_{n},}
to
tr
(
A
B
C
)
=
tr
(
C
A
B
)
=
tr
(
B
C
A
)
{\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)}
(wszystkie przesunięcia cykliczne), niekoniecznie jednak
tr
(
A
B
C
)
=
tr
(
B
A
C
)
.
{\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (BAC).}
Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej
P
{\displaystyle P}
zachodzi
tr
(
P
−
1
A
P
)
=
tr
(
P
P
−
1
A
)
=
tr
(
A
)
.
{\displaystyle \operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (PP^{-1}A)=\operatorname {tr} (A).}
Niech
f
:
V
→
V
{\displaystyle f\colon V\to V}
będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni
V
.
{\displaystyle V.}
Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie .
Ślad endomorfizmu można też opisać jawnie: jeżeli
X
{\displaystyle X}
jest
n
{\displaystyle n}
wymiarową przestrzenią wektorową, a
θ
{\displaystyle \theta }
– n-liniową niezerową formą alternującą , to odwzorowaniu
T
{\displaystyle T}
można przyporządkować formę n-liniową:
θ
T
:
X
×
…
×
X
⏟
n
∋
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⟼
θ
(
T
x
1
,
x
2
,
…
,
x
N
)
+
θ
(
x
1
,
T
x
2
,
…
,
x
N
)
+
…
+
θ
(
x
1
,
x
2
,
…
,
T
x
N
)
{\displaystyle \theta ^{T}:\underbrace {X\times \ldots \times X} _{n}\ni (x_{1},\dots ,x_{n})\longmapsto \theta (Tx_{1},x_{2},\dots ,x_{N})+\theta (x_{1},Tx_{2},\dots ,x_{N})+\ldots +\theta (x_{1},x_{2},\dots ,Tx_{N})}
Forma ta jest równa
τ
θ
,
{\displaystyle \tau \theta ,}
a stałą proporcjonalności można nazwać
tr
T
.
{\displaystyle \operatorname {tr} T.}
Da się pokazać, że taka zdefiniowany ślad jest równy śladowi macierzy endomorfizmu w dowolnej bazie.
Niech
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}
będą wartościami własnymi macierzy
A
.
{\displaystyle A.}
Ponieważ
A
{\displaystyle A}
można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy ) do macierzy w postaci Jordana , której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi
tr
(
A
)
=
∑
i
=
1
n
λ
i
.
{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}.}
Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość
det
(
e
A
)
=
e
tr
(
A
)
.
{\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}.}
Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta .
Niech
H
{\displaystyle H}
będzie przestrzenią Hilberta,
(
e
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}
jej bazą ortonormalną oraz niech
B
1
(
H
)
=
{
A
B
:
A
,
B
∈
B
2
(
H
)
}
,
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}(H)=\{AB:A,B\in {\mathcal {B}}_{2}(H)\},}
gdzie
B
2
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(H)}
oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni
H
,
{\displaystyle H,}
tj. takich operatorów liniowych i ciągłych
A
:
H
→
H
,
{\displaystyle A\colon H\to H,}
że
‖
A
‖
2
:=
(
∑
i
∈
I
‖
A
e
i
‖
2
)
1
2
<
∞
.
{\displaystyle \|A\|_{2}:=\left(\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}<\infty .}
Funkcja
tr
:
B
1
(
H
)
→
C
,
{\displaystyle \operatorname {tr} \colon {\mathcal {B}}_{1}(H)\to \mathbb {C} ,}
dana wzorem
tr
(
T
)
=
∑
i
∈
I
⟨
T
e
i
,
e
i
⟩
{\displaystyle \operatorname {tr} (T)=\sum _{i\in I}\langle Te_{i},e_{i}\rangle }
nazywana jest śladem .
Operatory należące do
B
1
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}(H)}
nazywane operatorami śladowymi .
Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni
H
.
{\displaystyle H.}
W przypadku, gdy
H
{\displaystyle H}
jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.
Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha , na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni
L
p
{\displaystyle L_{p}}
na algebrach von Neumanna .
F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis . Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985. brak strony w książce
Niektóre typy macierzy Cechy niezależne od bazy
Cechy zależne od bazy
Operacje na macierzach jednoargumentowe
dwuargumentowe
Niezmienniki Inne pojęcia