Ślad macierzy – suma elementów na głównej przekątnej macierzy kwadratowej[1].
Niech
będzie macierzą kwadratową stopnia
Śladem macierzy
nazywamy wielkość

Stosuje się również oznaczenia
oraz
Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.
- Ślad jest operatorem liniowym. Niech
oraz
wówczas:
– addytywność operacji liczenia śladu,
– jednorodność operacji liczenia śladu.
- Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, stąd

- Jeśli
to

- Jeśli
to
(wszystkie przesunięcia cykliczne), niekoniecznie jednak 
Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej
zachodzi

Niech
będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni
Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.
Ślad endomorfizmu można też opisać jawnie: jeżeli
jest
wymiarową przestrzenią wektorową, a
– n-liniową niezerową formą alternującą, to odwzorowaniu
można przyporządkować formę n-liniową:

Forma ta jest równa
a stałą proporcjonalności można nazwać
Da się pokazać, że taka zdefiniowany ślad jest równy śladowi macierzy endomorfizmu w dowolnej bazie.
Niech
będą wartościami własnymi macierzy
Ponieważ
można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.
Niech
będzie przestrzenią Hilberta,
jej bazą ortonormalną oraz niech

gdzie
oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni
tj. takich operatorów liniowych i ciągłych
że

Funkcja
dana wzorem

nazywana jest śladem.
Operatory należące do
nazywane operatorami śladowymi.
Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni
W przypadku, gdy
jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.
Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha, na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni
na algebrach von Neumanna.
- F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course In Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985. Brak numerów stron w książce
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy |
|
---|
Cechy zależne od bazy |
|
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe |
|
---|
dwuargumentowe |
|
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia |
|
---|