Ślad (algebra liniowa)

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz antysymetryczna macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Ślad macierzy – suma elementów na głównej przekątnej macierzy kwadratowej.

Definicja formalna

Niech $A$$A$ będzie macierzą kwadratową stopnia $n$$n$. Śladem macierzy $A$$A$ nazywamy wielkość

$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$.

Stosuje się również oznaczenia $\operatorname {Tr} (A)$$\operatorname {Tr} (A)$ oraz $\operatorname {trace} (A)$$\operatorname {trace} (A)$. Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.

Własności

• Ślad jest operatorem liniowym. Niech $A,B\in M_{n}(K)$$A,B\in M_{n}(K)$ oraz $r\in K$$r\in K$, wówczas

  addytywność: $\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$$\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$,

  jednorodność: $\operatorname {tr} (rA)=r\operatorname {tr} (A)$$\operatorname {tr} (rA)=r\operatorname {tr} (A)$.

• Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, stąd

  $\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{T})$$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{T})$.

• Jeśli $A\in M_{n},B\in M_{n}$$A\in M_{n},B\in M_{n}$, to

$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$.

• Jeśli $A\in M_{n},B\in M_{n},C\in M_{n}$$A\in M_{n},B\in M_{n},C\in M_{n}$, to

$\operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)$$\operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)$ (wszystkie przesunięcia cykliczne), niekoniecznie jednak $\operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (BAC)$$\operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (BAC)$.

Przekształcenia liniowe

Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej $P$$P$ zachodzi

$\operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (PP^{-1}A)=\operatorname {tr} (A)$$\operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (PP^{-1}A)=\operatorname {tr} (A)$.

Niech $f\colon V\to V$$f\colon V\to V$ będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni $V$$V$. Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.

Ślad endomorfizmu można też opisać jawnie: jeżeli X jest n wymiarową przestrzenią wektorową, a θ – n-liniową niezerową formą alternującą, to odwzorowaniu T można przyporządkować formę n-liniową:

$\theta ^{T}:\underbrace {X\times \ldots \times X} _{n}\ni (x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \theta (Tx_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})+\theta (x_{1},Tx_{2},\ldots ,x_{N})+\ldots +\theta (x_{1},x_{2},\ldots ,Tx_{N})$$\theta ^{T}:\underbrace {X\times \ldots \times X} _{n}\ni (x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \theta (Tx_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})+\theta (x_{1},Tx_{2},\ldots ,x_{N})+\ldots +\theta (x_{1},x_{2},\ldots ,Tx_{N})$

Forma ta jest równa $\tau \theta$$\tau \theta$, a stałą proporcjonalności można nazwać $\operatorname {tr} T$$\operatorname {tr} T$. Da się pokazać, że taka zdefiniowany ślad jest równy śladowi macierzy endomorfizmu w dowolnej bazie.

Niech $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$$\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ będą wartościami własnymi macierzy $A$$A$. Ponieważ $A$$A$ można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$.

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

$\det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}$$\det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}$.

Operatory śladowe

Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.

Niech $H$$H$ będzie przestrzenią Hilberta, $(e_{i})_{i\in I}$$(e_{i})_{i\in I}$ jej bazą ortonormalną oraz niech

${\mathcal {B}}_{1}(H)=\{AB\colon \;A,B\in {\mathcal {B}}_{2}(H)\}$${\mathcal {B}}_{1}(H)=\{AB\colon \;A,B\in {\mathcal {B}}_{2}(H)\}$,

gdzie ${\mathcal {B}}_{2}(H)$${\mathcal {B}}_{2}(H)$ oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni $H$$H$, tj. takich operatorów liniowych i ciągłych $A\colon H\to H$$A\colon H\to H$, że

$\|A\|_{2}:=\left(\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}<\infty$$\|A\|_{2}:=\left(\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}<\infty$.

Funkcja $\operatorname {tr} \colon {\mathcal {B}}_{1}(H)\to \mathbb {C}$$\operatorname {tr} \colon {\mathcal {B}}_{1}(H)\to \mathbb {C}$, dana wzorem

$\operatorname {tr} (T)=\sum _{i\in I}\langle Te_{i},e_{i}\rangle$$\operatorname {tr} (T)=\sum _{i\in I}\langle Te_{i},e_{i}\rangle$

nazywana jest śladem.

Operatory należące do ${\mathcal {B}}_{1}(H)$${\mathcal {B}}_{1}(H)$ nazywane operatorami śladowymi.

Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni $H$$H$. W przypadku, gdy $H$$H$ jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.

Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha, na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni L_p na algebrach von Neumanna.

Bibliografia

1. F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.