Funkcja logistyczna

Wykres standardowej funkcji logistycznej

Funkcja logistyczna lub krzywa logistyczna – wykorzystywana do modelowania wielu zjawisk krzywa w kształcie litery S (krzywa sigmoidalna) opisana równaniem

$f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}$,

gdzie L to parametr wyznaczający kres górny zbioru wartości funkcji, w określonych kontekstach nazywany pojemnością środowiska, k to logistyczna stopa wzrostu wyznaczająca tempo przyrostu krzywej, zaś $x_{0}$ to wartość $x$ wyznaczająca środek krzywej (punkt przegięcia, w którym funkcja przyjmuje wartość $L/2$).

Spotyka się też zapis

$f(x)={\frac {a}{1+be^{-cx}}}$.

Oba zapisy są równoważne: $a=L$, $c=k$, zaś $b=e^{kx_{0}}$ ($x_{0}={{\text{ln}}b}/{c}$).

Dziedziną funkcji logistycznej są liczby rzeczywiste, granica dla $x\to -\infty$ wynosi 0, a granica dla $x\to +\infty$ to $L$.

Standardowa funkcja logistyczna to funkcja logistyczna z parametrami $L=1,k=1,x_{0}=0$ ($b=1$) opisana równaniem

$f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}$

i niekiedy nazywana po prostu sigmoidem (ang. the sigmoid). Innym stosowanym określeniem jest expit, co nawiązuje do faktu, że funkcja jest odwrotnością logitu.

Funkcja logistyczna znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, w tym w biologii (zwłaszcza ekologii), biomatematyce, chemii, demografii, ekonomii (np. modelowanie dyfuzji innowacji), teorii prawdopodobieństwa i statystyce (np. regresja logistyczna), socjologii, językoznawstwie, sztucznych sieciach neuronowych.

Uogólnienia

Istnieje wiele uogólnień funkcji logistycznej znajdujących zastosowanie w modelowaniu wzrostu. Należą do nich między innymi uogólniona krzywa logistyczna i krzywa Gompertza.

W statystyce, gdzie wartości funkcji logistycznej są interpretowane jako prawdopodobieństwa wystąpienia jednej z dwóch możliwych kategorii, uogólnieniem na trzy lub więcej kategorii jest funkcja softmax, której wartości są wektorami.