Przejdź do zawartości

Lemat Łuzina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Lemat Łuzina – twierdzenie mówiące, że każda probabilistyczna miara borelowska na przestrzeni polskiej jest wewnętrznie regularna (tj. jest miarą Radona). Twierdzenie udowodnione zostało przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina.

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Niech (Ω, d) będzie przestrzenią polską, a μ oznacza miarę probabilistyczną na Ω. Niech ciąg (an) będzie gęsty w Ω, a ponadto ε > 0. Dla dowolnie wybranych liczb naturalnych n, k niech dane będą zbiory

Wówczas

Dla każdego k istnieje zatem taka liczba naturalna n(k), że

Niech

Zbiór K jest domknięty i całkowicie ograniczony, a więc z zupełności Ω jest to zbiór zwarty. Ponadto

Dowodzi to wewnętrznej regularności miary μ.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • G. Blower, Random Matrices: High Dimensional Phenomena, ser. London Mathematical Society Lecture Notes. Cambridge, U.K., Cambridge Univ. Press, 2009, ss. 17-18.
  • Alexander S. Kechris: Classical descriptive set theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.