Przestrzeń zupełna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń metryczna zupełnaprzestrzeń metryczna mająca tę własność, że każdy ciąg punktów spełniający warunek Cauchy’ego ma granicę należącą do [1].

Przykłady[edytuj]

przestrzenie zupełne[edytuj]

przestrzenie niezupełne[edytuj]

  • Dowolny przedział otwarty jedno- lub dwustronnie z metryką euklidesową nie jest zupełny. Np. przedział nie jest zupełny, gdyż np. ciąg jest ciągiem Cauchy'ego w nim zawartym, ale jego granica = 0 nie należy do tego przedziału.
  • Zbiór liczb wymiernych nie jest zupełny, gdyż np. ciąg oraz jest ciągiem Cauchy'ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczbą niewymierną = .

Zupełność jako niezmiennik[edytuj]

Tw. 1 Zupełność jest niezmiennikiem metrycznym, tzn. jest zachowywana przy izometriach.

Tw. 2 Zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym.

Np. zbiór liczb rzeczywistych oraz dowolny przedział obustronnie otwarty są przestrzeniami wzajemnie homeomorficznymi ( więc są to przestrzenie topologicznie nieodróżnialne); z drugiej strony zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią zupełną, zaś przedział otwarty nie jest.

Dalsze własności[edytuj]

Tw. 3 (Cantora) Przestrzeń jest zupełna każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma niepuste przecięcie.

Tw. 4 W przestrzeni metrycznej zupełnej przeliczalna suma domkniętych zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym.

Tw. 5 Przestrzeń metryczna jest zupełna i całkowicie ograniczona przestrzeń metryczna jest zwarta.

Tw. 6 Każda przestrzeń metryczna zupełna jest zupełna w sensie Čecha.

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Twierdzenie Hausdorffa (o uzupełnieniu przestrzeni metrycznej)[edytuj]

  1. Dla każdej przestrzeni metrycznej istnieje przestrzeń metryczna zupełna oraz zanurzenie izometryczne dla którego jest gęstą podprzestrzenią Przestrzeń nazywa się uzupełnieniem przestrzeni
  2. Ponadto, jeśli jest przestrzenią zupełną oraz istnieje izometryczne zanurzenie dla którego jest gęstą podprzestrzenią to i są izometryczne.

Innymi słowy:

  • Każda przestrzeń metryczna ma jedyne uzupełnienie - z dokładnością do izometrii.
 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Bibliografia[edytuj]

  1. W. Kołodziej, Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. I Przestrzenie metryczne. W: Janina Wolska-Bochenek, Andrzej Borzymowski, Jerzy Chmaj, Magdalena Tryjarska: Zarys teorii równań całkowych i równań różniczkowych cząstkowych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1981. ISBN 83-01-01693-0.