Przestrzeń probabilistyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Miara probabilistyczna)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy prawdopodobieństwa zdefiniowanego przez Kołmogorowa. Zobacz też: inne definicje prawdopodobieństwa.

Przestrzeń probabilistyczna (trójka probabilistyczna) – struktura umożliwiająca opis procesu losowego (tj. procesu, którego wynik jest losowy) poprzez określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i przypisanie im prawdopodobieństw.

Ściślej, przestrzeń probabilistyczną  (\Omega, \mathcal F,  P) tworzą:

  1. niepusty zbiór  \Omega , zwany przestrzenią zdarzeń elementarnych,
  2. określone na nim σ-ciało  \mathcal F, zwane przestrzenią zdarzeń losowych, przy czym  \Omega \in \mathcal F,
  3. określona na  \mathcal F nieujemna miara   P - miara probabilistyczna (prawdopodobieństwo) - spełniająca trzy warunki: nieujemności, unormowania do jedności (tj.   P(\Omega) = 1) oraz przeliczalnej addytywności.

Definicje[edytuj]

Definicja prawdopodobieństwa[edytuj]

Powszechnie dziś stosowana definicja prawdopodobieństwa została podana w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa w postaci aksjomatów teorii prawdopodobieństwa (zwanych aksjomatami Kołmogorowa). Niech  \mathcal F będzie σ-ciałem określonym na danym zbiorze  \Omega. Elementy σ-ciała nazywa się zdarzeniami losowymi.

Funkcję  P\colon \mathcal F \to \mathbb R o wartościach rzeczywistych nazywa się miarą probabilistyczną (prawdopodobieństwem), jeżeli spełnione są warunki:

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja P jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną.

Definicja przestrzeni probabilistycznej[edytuj]

Układ  (\Omega, \mathcal F,  P) nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa[edytuj]

 Zobacz też: miara – własności.

Niech  A_1, A_2,..., A, B, A^c \in \mathcal F .

Wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają następujące własności:

Przykłady[edytuj]

1) Jeśli  \Omega jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że  \mathcal F jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru  \Omega , a prawdopodobieństwo  P dane jest wzorem

 P(A) = \frac{\#A}{\#\Omega} dla każdego zbioru   A \in \mathcal F,

gdzie \#C oznacza liczbę elementów zbioru  C. Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo na tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa[1].

2) Jeśli:

to przestrzeń probabilistyczna ( [0, 1], \mathfrak L_{[0, 1]}, \lambda\displaystyle) realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa.

W ogólności modelem geometrycznym danego doświadczenia jest σ-ciało podzbiorów mierzalnych danego zbioru skończonej miary, który pełni rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych  \Omega; prawdopodobieństwem zdarzenia jest iloraz miary danego podzbioru przez miarę przestrzeni  \Omega.

3) Niech (\Omega, \mathcal F,  P) będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), zaś X\colon \Omega \to \mathbb R niech będzie zmienną losową. Jeżeli   P_X jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową) X , tj.

 P_X(A) =  P\bigl(X^{-1}(A)\bigr) \ \overset\underset\mathrm{ozn}\ =\  P(X \in A) dla dowolnego  A \in \mathfrak B_\mathbb R ,  \mathfrak B_\mathbb R oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na  \mathbb R,

to   P_X jest miarą probabilistyczną, wobec czego  (\mathbb R, \mathfrak B_\mathbb R, P_X) również jest przestrzenią probabilistyczną.

4) Oprócz wymienionych wyżej do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.

Przypisy

  1. Niech \scriptstyle \Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\} oraz \scriptstyle \mathcal F jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru \scriptstyle \Omega ; niech wszystkie zdarzenia elementarne mają równe prawdopodobieństwa, tj. \scriptstyle P(\omega_i)=p dla \scriptstyle i \leqslant n (są to „założenia” definicji klasycznej). Na podstawie II i III aksjomatu prawdopodobieństwa zachodzi ciąg równości
    \scriptstyle 1 =  P(\Omega) =  P\displaystyle(\scriptstyle\{\omega_1, \dots, \omega_n\}\displaystyle)\scriptstyle =  P\displaystyle(\scriptstyle\{\omega_1\} \cup \dots \cup \{\omega_n\}\displaystyle)\scriptstyle =  P\displaystyle(\scriptstyle\{\omega_1\}\displaystyle)\scriptstyle + \dots +  P\displaystyle(\scriptstyle\{\omega_n\}\displaystyle)\scriptstyle = np,
    skąd \scriptstyle p = 1/n. Analogicznie jak w przypadku zbioru \scriptstyle \Omega dowodzi się, że \scriptstyle  P(A) = mp, o ile \scriptstyle \#A = m; stąd wynika już, że \scriptstyle  P(A) = mp = m/n, czyli \scriptstyle  P(A) = \#A/\#\Omega.