Przestrzeń probabilistyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Miara probabilistyczna)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy prawdopodobieństwa zdefiniowanego przez Kołmogorowa. Zobacz też: inne definicje prawdopodobieństwa.

Przestrzeń probabilistyczna (trójka probabilistyczna) – struktura umożliwiająca opis procesu losowego (tj. procesu, którego wynik jest losowy) poprzez określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i przypisanie im prawdopodobieństw.

Ściślej, przestrzeń probabilistyczną tworzą:

  1. niepusty zbiór , zwany przestrzenią zdarzeń elementarnych,
  2. określone na nim σ-ciało , zwane przestrzenią zdarzeń losowych, przy czym ,
  3. określona na nieujemna miara - miara probabilistyczna (prawdopodobieństwo) - spełniająca trzy warunki: nieujemności, unormowania do jedności (tj. ) oraz przeliczalnej addytywności.

Definicje[edytuj]

Definicja prawdopodobieństwa[edytuj]

Powszechnie dziś stosowana definicja prawdopodobieństwa została podana w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa w postaci aksjomatów teorii prawdopodobieństwa (zwanych aksjomatami Kołmogorowa). Niech będzie σ-ciałem określonym na danym zbiorze . Elementy σ-ciała nazywa się zdarzeniami losowymi.

Funkcję o wartościach rzeczywistych nazywa się miarą probabilistyczną (prawdopodobieństwem), jeżeli spełnione są warunki:

  • nieujemności (tj. prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne):
    dla dowolnego zdarzenia
  • unormowania do jedności (tj. prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1):
  • przeliczalnej addytywność (dla przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozłącznych):
    przy czym , gdy

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną.

Definicja przestrzeni probabilistycznej[edytuj]

Układ nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa[edytuj]

 Zobacz też: miara – własności.

Niech .

Wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają następujące własności:

  • prawdopodobieństwo jest miarą skończoną , tj. prawdopodobieństwa są określone liczbami skończonymi,
  • prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerowe:
    ,
  • skończona addytywność (dla skończonej rodziny zbiorów rozłącznych):
    , dla , przy czym sumowanie dotyczy skończonej liczby zbiorów,
  • prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
    , przy czym jest zdarzeniem przeciwnym do ,
  • ograniczenie górne prawdopodobieństwa:
    ,
  • monotoniczność:
    dla ,
  • prawdopodobieństwo alternatywy dwóch zdarzeń (zob. zasada włączeń i wyłączeń):
    .

Przykłady[edytuj]

1) Jeśli jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru , a prawdopodobieństwo dane jest wzorem

dla każdego zbioru

gdzie oznacza liczbę elementów zbioru . Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo na tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa[1].

2) Jeśli:

  • jest przedziałem jednostkowym
    ,
  • jest σ-ciałem podzbiorów przedziału , które są mierzalne w sensie Lebesgue'a, tj.
    ,
  • jest miarą Lebesgue'a określoną na , tj.
    ,

to przestrzeń probabilistyczna realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa.

W ogólności modelem geometrycznym danego doświadczenia jest σ-ciało podzbiorów mierzalnych danego zbioru skończonej miary, który pełni rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych ; prawdopodobieństwem zdarzenia jest iloraz miary danego podzbioru przez miarę przestrzeni .

3) Niech będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), zaś niech będzie zmienną losową. Jeżeli jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową) , tj.

dla dowolnego , oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na

to jest miarą probabilistyczną, wobec czego również jest przestrzenią probabilistyczną.

4) Oprócz wymienionych wyżej do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.

Przypisy

  1. Niech oraz jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru  ; niech wszystkie zdarzenia elementarne mają równe prawdopodobieństwa, tj. dla (są to „założenia” definicji klasycznej). Na podstawie II i III aksjomatu prawdopodobieństwa zachodzi ciąg równości
    skąd Analogicznie jak w przypadku zbioru dowodzi się, że o ile stąd wynika już, że czyli