Lemat Phillipsa

Lemat Phillipsa – twierdzenie dotyczące miar skończenie addytywnych określonych na zbiorze potęgowym danego zbioru nieskończonego. Twierdzenie udowodnione przez Ralpha S. Phillipsa w 1940. Pierwotną motywacją Phillipsa stojącą za wykazaniem twierdzenia było obalenie pewnego stwierdzenia Gelfanda dotyczącego zwartych podzbiorów przestrzeni Banacha. Twierdzenie to jednak doczekało się dalszych zastosowań (twierdzenie Phillipsa-Sobczyka czy wykazana przez Grothendiecka własność Grothendiecka przestrzeni ℓ_∞).

Twierdzenie

Niech $\{\mu _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}$ będzie rodziną ograniczonych skończenie addytywnych miar (przyjmujących wartości rzeczywiste) na zbiorze potęgowym zbioru liczb naturalnych o tej własności, że dla każdego podzbioru A ⊆ ℕ spełniony jest warunek

$\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A)=0.$

Wówczas

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{\infty }|\mu _{n}(\{k\})|=0$.

Dyskusja założenia ograniczoności miar

Ograniczność miary $\mu$ oznacza warunek

$\|\mu \|_{1}<\infty ,$

gdzie $\|\mu \|_{1}$ jest wahaniem miary $\mu .$ Niektórzy autorzy wymagają założenia mocniejszego od ograniczoności każdej z miar, postulując by

$\sup _{n\in \mathbb {N} }\|\mu _{n}\|_{1}<\infty ;$

to jednak wynika z przyjętego założenia w wypowiedzi lematu Phillipsa na mocy twierdzenia Nikodyma o ograniczoności.

Bibliografia

• Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977. Brak numerów stron w książce
• Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1. Brak numerów stron w książce
• Charles Swartz: Infinite matrices and the gliding hump. New York: World Scientific Publishing, 1996. ISBN 978-981-02-2736-4. Brak numerów stron w książce