Przejdź do zawartości

Lemat Phillipsa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Lemat Phillipsa – twierdzenie dotyczące miar skończenie addytywnych określonych na zbiorze potęgowym danego zbioru nieskończonego. Twierdzenie udowodnione przez Ralpha S. Phillipsa w 1940[1]. Pierwotną motywacją Phillipsa stojącą za wykazaniem twierdzenia było obalenie pewnego stwierdzenia Gelfanda dotyczącego zwartych podzbiorów przestrzeni Banacha[2]. Twierdzenie to jednak doczekało się dalszych zastosowań (twierdzenie Phillipsa-Sobczyka czy wykazana przez Grothendiecka własność Grothendiecka przestrzeni ℓ).

Twierdzenie

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie rodziną ograniczonych skończenie addytywnych miar (przyjmujących wartości rzeczywiste) na zbiorze potęgowym zbioru liczb naturalnych o tej własności, że dla każdego podzbioru A ⊆ ℕ spełniony jest warunek

Wówczas

[3][4].

Dyskusja założenia ograniczoności miar

[edytuj | edytuj kod]

Ograniczność miary oznacza warunek

gdzie jest wahaniem miary Niektórzy autorzy[5] wymagają założenia mocniejszego od ograniczoności każdej z miar, postulując by

to jednak wynika z przyjętego założenia w wypowiedzi lematu Phillipsa na mocy twierdzenia Nikodyma o ograniczoności[6].

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. R. S. Phillips, On Linear transformations, Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940), s. 516–541.
  2. Diestel, Uhl 1981 ↓, s. 33.
  3. Diestel, Uhl 1977 ↓, s. 33.
  4. Swartz 1996 ↓, s. 66.
  5. Morrison 2001 ↓, s. 270–272.
  6. Diestel, Uhl 1977 ↓, s. 14–16.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
  • Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.
  • Charles Swartz: Infinite matrices and the gliding hump. New York: World Scientific Publishing, 1996. ISBN 978-981-02-2736-4.