Zbiór potęgowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór potęgowy – dla danego zbioru zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami [1], lub . W aksjomatycznej teorii zbiorów ZF istnienie zbioru potęgowego postuluje aksjomat zbioru potęgowego.

Moc zbioru potęgowego[edytuj]

Jeśli jest zbiorem -elementowym, to ma dokładnie elementów. W szczególności, zbiór potęgowy zbioru pustego złożony jest tylko ze zbioru pustego, a więc ma element. Ogólniej, dla dowolnego zbioru

,

gdzie oznaczaja moc (liczbę kardynalną) zbioru, odpowiednio, i . Zbiór potęgowy zbioru liczb naturalnych jest mocy continuum, tzn. jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych. Twierdzenie Cantora mówi, że dla każdego (skończonego albo nieskończonego) zbioru , jego zbiór jest większej mocy (ma „więcej elementów”).

Przykłady[edytuj]

Zastosowania[edytuj]

  • W topologii i teorii modeli (dziedzina logiki matematycznej) szerokie zastosowanie mają filtry – podzbiory zbioru , gdzie jest ustalonym zbiorem.
  • Baza przestrzeni topologicznej jest podzbiorem zbioru .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. C.C. Chang, H.J. Keisler: Teoria modeli (tłum.ros.). Mir, 1977, s. 194. (ros.)

Bibliografia[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]