Zbiór potęgowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbiór potęgowy – dla danego zbioru zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami [1], lub . W aksjomatycznej teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru potęgowego postuluje aksjomat zbioru potęgowego.

To, że zbiór jest zbiorem potęgowym zbioru , można formalnie zapisać tak:

.

Uwaga: Ściśle biorąc, dla danego zbioru nie można podać definicji jego zbioru potęgowego, która zaczynała by się: „jest to zbiór, który...”, bo definicja taka zakłada istnienie zbioru przed jego zdefiniowaniem, a takie definiowanie jest zakazane w aksjomatycznej teorii ZF. Można jedynie formalnie zdefiniować dla dwóch zbiorów, kiedy jeden z nich jest zbiorem potęgowym drugiego.

Moc zbioru potęgowego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest zbiorem -elementowym, to ma dokładnie elementów. W szczególności, zbiór potęgowy zbioru pustego złożony jest tylko ze zbioru pustego, a więc ma element. Ogólniej, dla dowolnego zbioru

,

gdzie oznaczają moc (liczbę kardynalną) zbioru, odpowiednio, i . Zbiór potęgowy zbioru liczb naturalnych jest mocy continuum, tzn. jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych. Twierdzenie Cantora mówi, że dla każdego (skończonego albo nieskończonego) zbioru , jego zbiór jest większej mocy (ma „więcej elementów”).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. C.C. Chang, H.J. Keisler: Teoria modeli (tłum.ros.). Moskwa: Mir, 1977, s. 194. (ros.)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]