Zbiór potęgowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbiór potęgowy – dla danego zbioru zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami [1], lub W aksjomatycznej teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru potęgowego postuluje aksjomat zbioru potęgowego.

To, że zbiór jest zbiorem potęgowym zbioru można formalnie zapisać tak:

Uwaga: Ściśle biorąc, dla danego zbioru nie można podać definicji jego zbioru potęgowego, która zaczynała by się: „jest to zbiór, który...”, bo definicja taka zakłada istnienie zbioru przed jego zdefiniowaniem, a takie definiowanie jest zakazane w aksjomatycznej teorii ZF. Można jedynie formalnie zdefiniować dla dwóch zbiorów, kiedy jeden z nich jest zbiorem potęgowym drugiego.

Moc zbioru potęgowego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest zbiorem -elementowym, to ma dokładnie elementów. W szczególności, zbiór potęgowy zbioru pustego złożony jest tylko ze zbioru pustego, a więc ma element. Ogólniej, dla dowolnego zbioru

gdzie oznaczają moc (liczbę kardynalną) zbioru, odpowiednio, i Zbiór potęgowy zbioru liczb naturalnych jest mocy continuum, tzn. jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych. Twierdzenie Cantora mówi, że dla każdego (skończonego albo nieskończonego) zbioru jego zbiór jest większej mocy (ma „więcej elementów”).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. C.C. Chang, H.J. Keisler: Teoria modeli (tłum.ros.). Moskwa: Mir, 1977, s. 194. (ros.)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]