Zbiór potęgowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbiór potęgowy – dla danego zbioru X zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami \mathcal S(X)[1],\mathcal P(X) lub 2^X. W aksjomatycznej teorii zbiorów ZF istnienie zbioru potęgowego postuluje aksjomat zbioru potęgowego.

Moc zbioru potęgowego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli A jest zbiorem n-elementowym, to \mathcal{P}(A) ma dokładnie 2^n elementów. W szczególności, zbiór potęgowy zbioru pustego złożony jest tylko ze zbioru pustego, a więc ma 2^0=1 element. Ogólniej, dla dowolnego zbioru A

|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|},

gdzie |\mathcal{P}(A)|, |A| oznaczaja moc (liczbę kardynalną) zbioru, odpowiednio, \mathcal{P}(A) i A\,. Zbiór potęgowy zbioru liczb naturalnych jest mocy continuum, tzn. jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych. Twierdzenie Cantora mówi, że dla każdego (skończonego albo nieskończonego) zbioru A, jego zbiór \mathcal{P}(A) jest większej mocy (ma "więcej elementów").

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • \mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}
  • \mathcal{P}(\{\varnothing\})=\{\varnothing, \{\varnothing\}\}
  • \mathcal{P}(\{1,2,3\})=\{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • W topologii i teorii modeli (dziedzina logiki matematycznej) szerokie zastosowanie mają filtry - podzbiory zbioru \mathcal S(X), gdzie X\; jest ustalonym zbiorem.
  • Baza przestrzeni topologicznej X\; jest podzbiorem zbioru \mathcal S(X).


Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. C. C. Chang, H. J. Keisler: Teoria modeli (tłum.ros.). Mir, 1977, s. 194. (ros.)