Przestrzeń Lp

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzenie p, Lp, Lp(μ) - dla ustalonej liczby dodatniej p - klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg p-tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w p-tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku p ≥ 1, to w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie 2 oraz L2 są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. Przestrzenie p są szczególnymi przypadkami przestrzeni Lp(μ).

Przestrzenie Lp znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.

Skończenie wymiarowe przestrzenie pn[edytuj]

Sfera jednostkowa w przestrzeni

W przestrzeni Kn, gdzie K jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego p > 0 rozważać funkcję

daną wzorem

,

Dla 1 ≤ p < ∞ funkcja ta jest normą wraz z którą Kn jest n-wymiarową przestrzenią Banacha, oznaczaną symbolem pn. W przypadku p = 2 norma przestrzeni 2n jest normą euklidesową.

Przestrzenie p[edytuj]

 Osobny artykuł: Przestrzeń l1.

Ciągi liczbowe (o wyrazach z z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:

  • dodawanie:
  • mnożenie przez skalar:

gdzie jest skalarem.

Zbiór wszystkich ciągów liczbowych z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego 0 < p < ∞ zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych x = (xn) dla których

tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni .

Dopuszczając p = ∞, definiuje się

Przestrzenie p to podprzestrzenie liniowe V dla których

.

Powyższy wzór określa normę w p dla p ∈ [1, ∞]. Warunek trójkąta dla normy w przypadku p < ∞ wynika z nierówności Minkowskiego:

,

gdzie (an), (bn) są elementami p.

Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera:

,

gdzie gdzie (an) ∈ p, (bn) ∈ q , 1/p + 1/q =1; umownie 1/∞ =0.

Norma w przestrzeniach p jest zupełna, a więc przestrzenie pprzestrzeniami Banacha.

Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni ℓp, p ∈ [1, ∞), gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni ℓ. Ciąg o wyrazie ogólnym 1/n nie należy do przestrzeni ℓ1, jednak dla każdego p > 1 należy on do przestrzeni ℓp.

Własności[edytuj]

  • Przestrzenie ℓ1 i ℓ nie są refleksywne, są natomiast w przypadku 1 < p < ∞ przestrzenie ℓp są. Dla p ∈ [1, ∞) przestrzeń sprzężona do ℓp jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ℓq gdzie 1 / p + 1 / q = 1 (konwencja: 1 / ∞ = 0). Dualność ta wyznaczona jest przez związek

Przestrzenie Lp(μ)[edytuj]

Niech p > 0 będzie liczbą rzeczywistą oraz niech (Ω, F, μ) będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną. Niech L(μ) będzie zbiorem klas abstrakcji relacji równoważności w rodzinie wszystkich funkcji mierzalnych na Ω względem relacji równoważności danej warunkiem f ~ g wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {xΩ: f(x) ≠ g(x)} jest μ-miary zero. Zbiór

ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej.

Przestrzenie Lp dla p ≥ 1[edytuj]

Niech p ∈ [1, ∞). Z nierówności Minkowskiego wynika, że wzór

definiuje normę przestrzeni Lp(μ). Norma ta jest zupełna, a więc Lp(μ) jest przestrzenią Banacha. Gdy Ω jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni Euklidesowej, symbolem Lp(Ω) oznacza się przestrzeń Lp(μ), gdzie μ jest miarą Lebesgue'a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzbiorów zbioru Ω.

Gdy miara μ jest skończona, to zachodzą inkluzje Lp(μ) ⊆ Lq(μ) o ile tylko pq (włączając przypadek p = ∞, zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy μ jest nieskończona, tj. μ(Ω) = ∞ powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład, dla ustalonego p ≥ 1 funkcja

należy do Lp(0, ∞) ale nie należy do Lr(0, ∞), gdy rp.

Przestrzeń L[edytuj]

Symbolem L(μ) oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że

,

z normą

.

Przestrzenie Lp dla 0 < p < 1[edytuj]

W przypadku 0 < p < 1 nadal można mówić o przestrzeniach Lp, nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe).

Dla liczb nieujemnych a,b oraz liczby 0 < p < 1 znana jest następująca nierówność:

z której wynika, że

przy czym Δp(f) = ∫ | f(x) |p μ(dx). Na mocy powyższego, wzór

określa metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni Lp(μ). Metryka ta jest zupełna. W szczególności, Lp(μ) ma strukturę zupełnej liniowo-metrycznej, której bazę otoczeń zera tworzy rodzina kul

.

Brak lokalnej wypukłości[edytuj]

Dla każej liczby r > 0 zachodzi związek

,

więc kula B1 jest ograniczona, tj. przestrzeń Lp(μ) jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń Lp(μ). Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech Y będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech B będzie jej bazą otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli T: Lp(μ) → Y jest operatorem liniowym i ciągłym oraz W jest elementem bazy B, to T-1(W) jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem Lp(μ), tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji T(Lp(μ)) zawiera się w każdym elemencie bazy B, tj. T jest operatorem zerowym.

Nierówności Höldera i Minkowskiego[edytuj]

Dla przestrzeni Lp(μ) (0< p <1) istnieją odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego.

Nierówność Höldera: Niech 0< p <1 oraz niech pˊ = p / (p - 1). Wówczas dla fLp(μ), gLpˊ(μ) spełniających warunek 0 < Δpˊ(g) < ∞ zachodzi oszacowanie

.

Nierówność Minkowskiego: Dla 0< p <1 oraz f, gLp(μ) zachodzi oszacowanie:

.