Przestrzeń Lp

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzenie – dla ustalonej liczby dodatniej – klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg -tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w -tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku to w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie oraz są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. Przestrzenie są szczególnymi przypadkami przestrzeni

Przestrzenie znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.

Skończenie wymiarowe przestrzenie [edytuj | edytuj kod]

Sfera jednostkowa w przestrzeni

W przestrzeni gdzie jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego rozważać funkcję

daną wzorem

Dla funkcja ta jest normą wraz z którą jest -wymiarową przestrzenią Banacha, oznaczaną symbolem W przypadku norma przestrzeni jest normą euklidesową.

Przestrzenie [edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Przestrzeń l1.

Ciągi liczbowe (o wyrazach z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:

  • dodawanie:
  • mnożenie przez skalar:

gdzie jest skalarem.

Zbiór wszystkich ciągów liczbowych z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych dla których

tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni

Dopuszczając definiuje się

Przestrzenie to podprzestrzenie liniowe dla których

Powyższy wzór określa normę w dla Warunek trójkąta dla normy w przypadku wynika z nierówności Minkowskiego:

gdzie są elementami

Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera:

gdzie umownie

Norma w przestrzeniach jest zupełna, a więc przestrzenie przestrzeniami Banacha.

Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni Ciąg o wyrazie ogólnym nie należy do przestrzeni jednak dla każdego należy on do przestrzeni

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzenie i nie są refleksywne, są natomiast w przypadku przestrzenie są. Dla przestrzeń sprzężona do jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią gdzie (konwencja: ). Dualność ta wyznaczona jest przez związek
  • Przestrzeń jest nieośrodkowa, podczas gdy dla przestrzenie są ośrodkowe.
  • Przestrzenie jednostajnie wypukłe dla
  • Przestrzeń jest (izomorficzna z) przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy

Przestrzenie [edytuj | edytuj kod]

Niech będzie liczbą rzeczywistą oraz niech będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną. Niech będzie zbiorem klas abstrakcji relacji równoważności w rodzinie wszystkich funkcji mierzalnych na względem relacji równoważności danej warunkiem wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest -miary zero. Zbiór

ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej.

Przestrzenie dla [edytuj | edytuj kod]

Niech Z nierówności Minkowskiego wynika, że wzór

definiuje normę przestrzeni Norma ta jest zupełna, a więc jest przestrzenią Banacha. Gdy jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, symbolem oznacza się przestrzeń gdzie jest miarą Lebesgue’a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzbiorów zbioru

Gdy miara jest skończona, to zachodzą inkluzje o ile tylko (włączając przypadek zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy jest nieskończona, tj. powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład dla ustalonego funkcja

należy do ale nie należy do gdy

Przestrzeń [edytuj | edytuj kod]

Symbolem oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że

z normą

Przestrzenie dla [edytuj | edytuj kod]<p<1

W przypadku nadal można mówić o przestrzeniach nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe).

Dla liczb nieujemnych oraz liczby znana jest następująca nierówność:

z której wynika, że

przy czym Na mocy powyższego, wzór

określa metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni Metryka ta jest zupełna. W szczególności, ma strukturę zupełnej liniowo-metrycznej, której bazę otoczeń zera tworzy rodzina kul

Brak lokalnej wypukłości[edytuj | edytuj kod]

Dla każej liczby zachodzi związek

więc kula jest ograniczona, tj. przestrzeń jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech B będzie jej bazą otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli jest operatorem liniowym i ciągłym oraz jest elementem bazy B, to jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji zawiera się w każdym elemencie bazy B, tj. jest operatorem zerowym.

Nierówności Höldera i Minkowskiego[edytuj | edytuj kod]

Dla przestrzeni istnieją odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego.

Nierówność Höldera: Niech oraz niech Wówczas dla spełniających warunek zachodzi oszacowanie

Nierówność Minkowskiego: Dla oraz zachodzi oszacowanie: