Przestrzeń zwarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przedział A = (-∞, -2] nie jest zwarty, bo nie jest ograniczony. Przedział C = (2, 4) nie jest zwarty, bo nie jest domknięty. Przedział B = [0, 1] jest zwarty, bo jest domknięty i ograniczony.

Przestrzeń zwartaprzestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.

W niektórych źródłach (np. [1]) w definicji zwartości dodatkowo wymaga się, aby rozważana przestrzeń była przestrzenią Hausdorffa a przestrzenie nie spełniającego tego warunku nazywane są przestrzeniami quasizwartymi.

Idea[edytuj]

Z punktu widzenia topologi przestrzenie zwarte mają pewne pożądane własności. Np.

  • funkcja ciągła rzeczywista określona na przestrzeni zwartej jest ograniczona, przyjmuje swoje kresy, jest jednostajnie ciągła,
  • każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna,
  • w przestrzeni zwartej własność p spełniana lokalnie jest też spełniana globalnie, tzn. jeżeli jakiekolwiek zbiory otwarte V, U mają własność p, to również ich suma V \cup U ma tą własność.

Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych.

Własności[edytuj]

Niezmienniczość na ciągłe obrazy[edytuj]

Twierdzenie. Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód: Niech X będzie przestrzenią zwartą, a f\colon X \rightarrow Y odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że obraz f(X) jest zwarty. W tym celu weźmy dowolne otwarte pokrycie \{V_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda} zbioru f(X). Wtedy \mathcal{V} =  \{f^{-1}(V_{\lambda})\}_{\lambda \in \Lambda} jest otwartym pokryciem X. Istotnie, otwartość elementów rodziny \mathcal{V} od razu wynika z ciągłości f. Ponadto, dla dowolnego x \in X istnieje zbiór V_{\lambda'}, taki że f(x) \in V_{\lambda'}. Dlatego też x \in f^{-1}(V_{\lambda'}).

Na mocy zwartości X istnieje skończona rodzina zbiorów \{f^{-1}(V_{\lambda_1}), f^{-1}(V_{\lambda_2}), \cdots, f^{-1}(V_{\lambda_n}) \} będąca pokryciem X. Zatem rodzina \{V_{\lambda_1}, V_{\lambda_2}, \cdots, V_{\lambda_n}\} jest otwartym, skończonym pokryciem f(X).

Oznacza to, że z dowolnego otwartego pokrycia f(X) można wybrać skończone podpokrycie, co oznacza, że zbiór f(X) jest zwarty.

Charakteryzacja podzbiorów zwartych w przestrzeniach euklidesowych[edytuj]

Twierdzenie. Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony (twierdzenie Heinego-Borela).

Osiąganie kresów przez ciągłe funkcje rzeczywiste[edytuj]

Twierdzenie. Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w  \mathbb{R} jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy (twierdzenie Weierstrassa).

Dowód. Niech f\colon X \rightarrow \mathbb{R} będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej X. Wówczas f(X) jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy twierdzenia Heinego-Borela (Własność 2). f(X) jest domknięty i ograniczony. Ograniczoność f(X) oznacza, że f jest ograniczona. Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości f(X) wynika że \inf f(X) \in f(X) oraz \sup f(X) \in f(X) . Zatem f przyjmuje swoje kresy. \;_\square

Iloczyny kartezjańskie przestrzeni zwartych[edytuj]

Twierdzenie. Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową z tych przestrzeni) jest zwarty (twierdzenie Tichonowa).

Domkniętość zbiorów zwartych[edytuj]

Twierdzenie. Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód. Niech X będzie przestrzenią Hausdorffa, a A\subset X jej zwartym podzbiorem. Aby udowodnić, że A jest domknięty uzasadnimy, że X\setminus A jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego x \in X\setminus A istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru A.

Niech x \in X\setminus A, y \in A. Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieją otoczenie V_y punktu x oraz otoczenie U_y punktu y takie że V_y \cap U_y = \emptyset.

Rodzina \{U_{y}\}_{y \in A} stanowi otwarte pokrycie A. Na mocy zwartości A istnieje skończone podpokrycie  \{U_{y_1}, U_{y_2}, \cdots, U_{y_n}\}. Każdy zbiór U_{y_i} jest rozłączny z odpowiednim zbiorem V_{y_i}. Zatem przekrój V = \bigcap_{i=1}^n V_i jest rozłączny z każdym ze zbiorów U_{y_i}. Więc V jest otoczeniem x, które jest rozłączne z A. Z dowolności x wynika, że zbiór A jest domknięty. \;_\square

Ograniczoność zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych[edytuj]

Twierdzenie. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

Dowód

Niech A będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X,d).

Należy udowodnić, że \operatorname{diam}(A) = \sup\{d(x, y)\colon x, y \in A\} < \infty

Wykorzystamy fakt, że metryka d\colon X\times X \rightarrow \mathbb{R} jest ciągła. Obcięcie f = d|_A jest ciągłe. Na mocy twierdzenia Weierstrassa (Własność 3) funkcja f jest ograniczona. Zatem  \sup\{f(x, y): x, y \in A\} < \infty . Czyli \operatorname{diam}(A) < \infty.

Wykazaliśmy, że zbiór A jest ograniczony. \;_\square

Ciągłe bijekcje są homeomorfizmami[edytuj]

Twierdzenie. Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni X na przestrzeń Hausdorffa Y jest homeomorfizmem.

Dowód. Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte. Niech A \subset X będzie domknięty i niech f\colon X \rightarrow Y będzie ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni X w przestrzeń Hausdorffa Y. Wówczas A jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd f(A) jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc f(A) jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa. \;_\square

Charakteryzacja zwartości w przestrzeniach metrycznych[edytuj]

Twierdzenie. Niech X będzie przestrzenią metryczną. Następujące warunki są równoważne:

  • przestrzeń X jest zwarta;
  • każdy ciąg (x_n) w tej przestrzeni zawiera podciąg (x_{n_k}) zbieżny, tzn. X jest ciągowo zwarta;
  • z każdego przeliczalnego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, tzn. X jest przeliczalnie zwarta;
  • dla każdej funkcji ciągłej f:X\to\mathbb{R} obraz f(X) jest ograniczony, tzn. X jest pseudozwarta.

Zwartość domkniętych podzbiorów[edytuj]

Twierdzenie. Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
Dowód. Niech A \subset X będzie domkniętym podzbiorem przestrzeni zwartej X. Weźmy dowolne otwarte pokrycie \{U_i\}_{i \in I} zbioru A. Ponieważ A jest domknięty, to jego dopełnienie jest otwarte i razem z \{U_i\}_{i \in I} stanowi otwarte pokrycie przestrzeni X. Ponieważ przestrzeń X jest zwarta, więc z jej pokrycia \{U_i\}_{i \in I} \cup \{X \setminus A\} możemy wybrać skończone podpokrycie \mathcal D przestrzeni X. Ale A \subset X, więc \mathcal D jest zarazem pokryciem zbioru A. Zatem A jest zwarty. \;_\square

Zwartość implikuje normalność[edytuj]

Twierdzenie. Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.

Przestrzenie metryczne[edytuj]

Zwartość przestrzeni metrycznej można opisywać na wiele równoważnych sposobów. W przestrzeni euklidesowej (w szczególności w {\mathbb R}^n) zwartość można zdefiniować w następujący sposób (twierdzenie Heinego-Borela):

Zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Ogólniej, w przestrzeniach metrycznych szczególnie często korzysta się z następującej własności:

Przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny.

Przykłady[edytuj]

Stosując powyższe twierdzenia od razu można podać przykłady przestrzeni zwartych i przestrzeni, które zwarte nie są:

  • zwarty jest odcinek [0,1] \subset \mathbb R, bo jest domknięty i ograniczony,
  • odcinek (0,1) \subset \mathbb R nie jest zwarty, bo nie jest domknięty,
  • rodzina zbiorów

\left\{ \left({1 \over n},\; {2 \over n}\right): n \in \mathbb N, n \geqslant 2 \right\}
= \left\{ \left({1 \over 2},\; 1\right),\; \left({1 \over 3},\; {2 \over 3}\right),\;
          \left({1 \over 4},\; {1 \over 2}\right),\;\left({1 \over5},\; {2 \over 5}\right), \dots
  \right\}
jest pokryciem odcinka (0, 1) zbiorami otwartymi w \mathbb R (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały odcinek (0, 1),
  • zwarta nie jest również cała prosta liczbowa \mathbb R, bo jest zbiorem nieograniczonym,
  • zwarty jest zbiór Cantora.

Pokrewne pojęcia[edytuj]

Przestrzeń topologiczną X nazywamy przeliczalnie zwartą jeśli z każdego przeliczalnego pokrycia otwartego X można wybrać podpokrycie skończone. Każda przestrzeń zwarta jest przeliczalnie zwarta.

Przestrzeń topologiczną X nazywamy pseudozwartą jeśli dla każdej ciągłej funkcji f:X\to\mathbb{R} obraz f(X) jest ograniczony. Każda przestrzeń zwarta jest pseudozwarta.

Przestrzeń topologiczną X nazywamy ciągowo zwartą jeśli każdy ciąg (x_n) w tej przestrzeni zawiera podciąg (x_{n_k}) zbieżny, tzn. istnieje element x\in X taki, że każde otwarte otoczenie U punktu x zawiera wszystkie elementy ciągu (x_{n_k}) poza co najwyżej skończoną ich liczbą.

Przypisy

  1. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 164, seria: BM tom 47.

Zobacz też[edytuj]