Przestrzeń zwarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń zwartaprzestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. pewna skończona liczba zbiorów pokrycia tworzy pokrycie)[1].

Zbiorem zwartym nazywa się podzbiór przestrzeni topologicznej, który traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni) jest przestrzenią zwartą.

W niektórych źródłach (np. Engelking 1989 ↓) w definicji zwartości dodatkowo wymaga się, aby przestrzeń zwarta była przestrzenią Hausdorffa, a przestrzenie zdefiniowane z pominięciem tego warunku nazywa się przestrzeniami quasizwartymi[2].

Idea zwartości[edytuj]

Z punktu widzenia topologi przestrzenie zwarte mają pewne pożądane własności, np.

  • funkcja ciągła rzeczywista określona na przestrzeni zwartej jest ograniczona i osiąga swoje kresy,
  • funkcja ciągła rzeczywista lub zespolona na przestrzeni metrycznej zwartej jest jednostajnie ciągła,
  • każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna,
  • w przestrzeni zwartej własność spełniana lokalnie jest też spełniana globalnie, tzn. jeżeli jakiekolwiek zbiory otwarte mają własność , to również ich suma ma tą własność[potrzebny przypis].

Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych.

Przykłady zbiorów zwartych i niezwartych[edytuj]

Przedział nie jest zbiorem zwartym.

Rzeczywiście, rodzina zbiorów otwartych
jest pokryciem tego przedziału (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały przedział . ⃞

Przedział nie jest zbiorem zwartym.

Rzeczywiście, rodzina zbiorów otwartych
jest pokryciem zbioru , ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby . ⃞

Przedział jest zwarty.

Rzeczywiście, niech będzie pokryciem odcinka . Zdefiniujmy zbiór
i odcinek można pokryć skończoną podrodziną rodziny
Oczywiście , bo przedział jest pokryty pewnym elementem rodziny . Zbiór jest więc niepusty i ograniczony z góry. Ma więc kres górny   i   .
Zauważmy, że , bo biorąc jakieś otoczenie punktu , znajdziemy pewien przedział , a stąd czyli .
Przypuśćmy, że i niech dla pewnego przedziału otwartego , istnieje wówczas przedział , Ponieważ jest kresem górnym zbioru , więc w przedziale istnieje punkt . Istnieje więc skończona podrodzina pokrywająca przedział . A stąd przedział jest pokryty przez skończoną rodzinę . Oznacza to, że i nie kresem górnym zbioru . Sprzeczność ta pokazuje, że .
Niech dla pewnego zbioru otwartego i rozważmy przedział . Podobnie jak wyżej, jest kresem górnym zbioru , więc w przedziale istnieje punkt . Istnieje więc skończona podrodzina pokrywająca przedział . A stąd przedział jest pokryty przez skończoną rodzinę , a to kończy dowód. ⃞

Własności[edytuj]

Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód: Niech będzie przestrzenią zwartą, a odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że obraz jest zwarty. W tym celu weźmy dowolne otwarte pokrycie zbioru . Wtedy jest otwartym pokryciem . Istotnie, otwartość elementów rodziny od razu wynika z ciągłości . Ponadto, dla dowolnego istnieje zbiór , taki że . Dlatego też . Na mocy zwartości istnieje skończona rodzina zbiorów będąca pokryciem . Zatem rodzina jest otwartym, skończonym pokryciem . Oznacza to, że z dowolnego otwartego pokrycia można wybrać skończone podpokrycie, co oznacza, że zbiór jest zwarty, cnd.

(Twierdzenie Weierstrassa) Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy.

Dowód. Niech będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej . Wówczas jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy Tw. Heinego-Borela jest domknięty i ograniczony. Ograniczoność oznacza, że jest ograniczona. Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości wynika że oraz . Zatem przyjmuje swoje kresy, cnd.

(Twierdzenie Tichonowa) Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową) jest zwarty.

Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód. Niech będzie przestrzenią Hausdorffa, a jej zwartym podzbiorem. Aby udowodnić, że jest domknięty uzasadnimy, że jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru .
Niech , . Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieją otoczenie punktu oraz otoczenie punktu takie że .
Rodzina stanowi otwarte pokrycie . Na mocy zwartości istnieje skończone podpokrycie . Każdy zbiór jest rozłączny z odpowiednim zbiorem . Zatem przekrój jest rozłączny z każdym ze zbiorów . Więc jest otoczeniem , które jest rozłączne z . Z dowolności wynika, że zbiór jest domknięty, cnd.

Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni na przestrzeń Hausdorffa jest homeomorfizmem.

Dowód. Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte. Niech będzie domknięty i niech będzie ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni w przestrzeń Hausdorffa . Wówczas jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa, cnd.

Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód. Niech będzie domkniętym podzbiorem przestrzeni zwartej . Weźmy dowolne otwarte pokrycie zbioru . Ponieważ jest domknięty, to jego dopełnienie jest otwarte i razem z stanowi otwarte pokrycie przestrzeni . Ponieważ przestrzeń jest zwarta, więc z jej pokrycia możemy wybrać skończone podpokrycie przestrzeni . Ale , więc jest zarazem pokryciem zbioru . Zatem jest zwarty, cnd.

Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.

Zwartość w przestrzeniach metrycznych[edytuj]

Przedział A = (−∞, −2] nie jest zwarty, bo nie jest ograniczony. Przedział C = (2, 4) nie jest zwarty, bo nie jest domknięty. Przedział B = [0, 1] jest zwarty, bo jest domknięty i ograniczony.

Niech będzie przestrzenią metryczną. Następujące warunki są równoważne:

– przestrzeń jest zwarta,
– każdy ciąg w tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny do punktu należącego do tej przestrzeni (tzn. jest ciągowo zwarta),
– z każdego przeliczalnego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, tzn. jest przeliczalnie zwarta,
– dla każdej funkcji ciągłej obraz jest ograniczony, tzn. jest pseudozwarta.

Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

Dowód: Niech będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej .
Należy udowodnić, że .
Wykorzystamy fakt, że metryka jest ciągła. Obcięcie jest ciągłe. Na mocy tw. Weierstrassa funkcja jest ograniczona. Zatem . Czyli Wykazaliśmy, że zbiór jest ograniczony, cnd.

(twierdzenie Heinego-Borela) Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Dowolna przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny.

Przykłady[edytuj]

Stosując powyższe twierdzenia można łatwo stwierdzić, które poniższe przestrzenie są zwarte, a które nie:

  • zwarty jest odcinek , bo jest domknięty i ograniczony,
  • odcinek nie jest zwarty, bo nie jest domknięty,
  • zwarta nie jest również cała prosta liczbowa , bo jest zbiorem nieograniczonym,
  • zwarty jest zbiór Cantora.

Pojęcia pokrewne[edytuj]

  • Przestrzeń topologiczną nazywamy pseudozwartą jeśli jest przestrzenią Tichonowa i każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych jest ograniczona[3]. Każda przestrzeń zwarta jest pseudozwarta.
  • Przestrzeń topologiczną nazywamy ciągowo zwartą jeśli każdy ciąg w tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny, tzn. istnieje element taki, że każde otwarte otoczenie punktu zawiera wszystkie elementy ciągu poza co najwyżej skończoną ich liczbą[4].
  • Przestrzeń przeliczalnie zwarta
  • Przestrzeń parazwarta
  • Przestrzeń Lindelöfa

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

Zobacz też[edytuj]