Przestrzeń zwarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń zwartaprzestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów tworzy pokrycie).

Zbiorem zwartym nazywa się podzbiór przestrzeni topologicznej, który traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z ) jest przestrzenią zwartą.

W niektórych źródłach ( np. [1] ) w definicji zwartości dodatkowo wymaga się, aby rozważana przestrzeń była przestrzenią Hausdorffa, a przestrzenie nie spełniającego tego warunku nazywane są przestrzeniami quasizwartymi.

Idea zwartości[edytuj]

Z punktu widzenia topologi przestrzenie zwarte mają pewne pożądane własności. Np.

  • funkcja ciągła rzeczywista określona na przestrzeni zwartej jest ograniczona, przyjmuje swoje kresy oraz jest jednostajnie ciągła,
  • każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna,
  • w przestrzeni zwartej własność spełniana lokalnie jest też spełniana globalnie, tzn. jeżeli jakiekolwiek zbiory otwarte mają własność , to również ich suma ma tą własność.

Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych.

Przykłady zbiorów zwartych i niezwartych[edytuj]

  • Przedział nie jest zbiorem zwartym.
Rzeczywiście, rodzina zbiorów otwartych
jest pokryciem tego przedziału (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały przedział ,
  • Przedział nie jest zbiorem zwartym.
Rzeczywiście, rodzina zbiorów otwartych
jest pokryciem zbioru , ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby ,
  • Przedział jest zwarty.
Rzeczywiście, niech będzie pokryciem odcinka . Zdefiniujmy zbiór
i odcinek można pokryć skończoną podrodziną rodziny
Oczywiście , bo przedział jest pokryty pewnym elementem rodziny . Zbiór jest więc niepusty i ograniczony z góry np. punktem 2. Ma więc kres górny   i   .
Zauważmy, że , bo biorąc jakieś otoczenie punktu , znajdziemy pewien przedział , a stąd czyli .
Przypuśćmy, że i niech dla pewnego przedziału otwartego , istnieje wówczas przedział , Ponieważ jest kresem górnym zbioru , więc w przedziale istnieje punkt . Istnieje więc skończona podrodzina pokrywająca przedział . A stąd przedział jest pokryty przez skończoną rodzinę . Oznacza to, że i nie kresem górnym zbioru . Sprzeczność ta pokazuje, że .
Niech dla pewnego zbioru otwartego i rozważmy przedział . Podobnie jak wyżej, jest kresem górnym zbioru , więc w przedziale istnieje punkt . Istnieje więc skończona podrodzina pokrywająca przedział . A stąd przedział jest pokryty przez skończoną rodzinę . A to kończy dowód.

Własności[edytuj]

  • Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.
Dowód: Niech będzie przestrzenią zwartą, a odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że obraz jest zwarty. W tym celu weźmy dowolne otwarte pokrycie zbioru . Wtedy jest otwartym pokryciem . Istotnie, otwartość elementów rodziny od razu wynika z ciągłości . Ponadto, dla dowolnego istnieje zbiór , taki że . Dlatego też . Na mocy zwartości istnieje skończona rodzina zbiorów będąca pokryciem . Zatem rodzina jest otwartym, skończonym pokryciem . Oznacza to, że z dowolnego otwartego pokrycia można wybrać skończone podpokrycie, co oznacza, że zbiór jest zwarty, cnd.
  • (twierdzenie Weierstrassa) Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy.
Dowód. Niech będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej . Wówczas jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy tw. Heinego-Borela jest domknięty i ograniczony. Ograniczoność oznacza, że jest ograniczona. Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości wynika że oraz . Zatem przyjmuje swoje kresy, cnd.
  • Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.
Dowód. Niech będzie przestrzenią Hausdorffa, a jej zwartym podzbiorem. Aby udowodnić, że jest domknięty uzasadnimy, że jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru .
Niech , . Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieją otoczenie punktu oraz otoczenie punktu takie że .
Rodzina stanowi otwarte pokrycie . Na mocy zwartości istnieje skończone podpokrycie . Każdy zbiór jest rozłączny z odpowiednim zbiorem . Zatem przekrój jest rozłączny z każdym ze zbiorów . Więc jest otoczeniem , które jest rozłączne z . Z dowolności wynika, że zbiór jest domknięty, cnd.
  • Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni na przestrzeń Hausdorffa jest homeomorfizmem.
Dowód.Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte. Niech będzie domknięty i niech będzie ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni w przestrzeń Hausdorffa . Wówczas jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa, cnd.
  • Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
Dowód. Niech będzie domkniętym podzbiorem przestrzeni zwartej . Weźmy dowolne otwarte pokrycie zbioru . Ponieważ jest domknięty, to jego dopełnienie jest otwarte i razem z stanowi otwarte pokrycie przestrzeni . Ponieważ przestrzeń jest zwarta, więc z jej pokrycia możemy wybrać skończone podpokrycie przestrzeni . Ale , więc jest zarazem pokryciem zbioru . Zatem jest zwarty, cnd.
  • Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.

Zwartość w przestrzeniach metrycznych[edytuj]

Przedział ''A'' = (-∞, -2] nie jest zwarty, bo nie jest ograniczony. Przedział ''C'' = (2, 4) nie jest zwarty, bo nie jest domknięty. Przedział ''B'' = [0, 1] jest zwarty, bo jest domknięty i ograniczony.
- przestrzeń jest zwarta,
- każdy ciąg w tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny do punktu należącego do tej przestrzeni (tzn. jest ciągowo zwarta),
- z każdego przeliczalnego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, tzn. jest przeliczalnie zwarta,
- dla każdej funkcji ciągłej obraz jest ograniczony, tzn. jest pseudozwarta.
  • Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.
Dowód: Niech będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej .
Należy udowodnić, że .
Wykorzystamy fakt, że metryka jest ciągła. Obcięcie jest ciągłe. Na mocy tw. Weierstrassa funkcja jest ograniczona. Zatem . Czyli Wykazaliśmy, że zbiór jest ograniczony, cnd.

Przykłady[edytuj]

Stosując powyższe twierdzenia można łatwo stwierdzić, które przestrzenie są zwarte, a które nie:

  • zwarty jest odcinek , bo jest domknięty i ograniczony,
  • odcinek nie jest zwarty, bo nie jest domknięty,
  • zwarta nie jest również cała prosta liczbowa , bo jest zbiorem nieograniczonym,
  • zwarty jest zbiór Cantora.

Inne definicje[edytuj]

  • Przestrzeń topologiczną nazywamy przeliczalnie zwartą jeśli z każdego przeliczalnego pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone. Każda przestrzeń zwarta jest przeliczalnie zwarta.
  • Przestrzeń topologiczną nazywamy pseudozwartą jeśli dla każdej ciągłej funkcji obraz jest ograniczony. Każda przestrzeń zwarta jest pseudozwarta.
  • Przestrzeń topologiczną nazywamy ciągowo zwartą jeśli każdy ciąg w tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny, tzn. istnieje element taki, że każde otwarte otoczenie punktu zawiera wszystkie elementy ciągu poza co najwyżej skończoną ich liczbą.

Przypisy

  1. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 164, seria: BM tom 47.

Zobacz też[edytuj]