Liczba epsilonowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł jest częścią serii
Historia oznaczeń
matematycznych
Rhind Mathematical Papyrus.jpg

Symbol działania
+ i −
=
<, >, ≤, ≥,⩽, ⩾, ≦, ≧, ≠
znak nieskończoności
ułamki zwykłe
separator dziesiętny
moduł
znak epsilon


Według działów
matematyki

analiza matematyczna
rachunek różniczkowy i całkowy
logika
teoria grafów
teoria liczb


Stałe matematyczne

Edytuj szablon

Liczba epsilonowa - liczba porządkowa o tej własności, że

.

Najmniejszą liczbą epsilonową jest liczba

.

Liczba jest przeliczalna - ma ona zastosowanie w wielu dowodach pozaskończonych, na przykład w dowodzie twierdzenia Goodsteina. Kolejne liczby epsilonowe indeksujemy kolejnymi liczbami porządkowymi, na przykład:

.
.

Własności[edytuj]

  • Liczba jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest przeliczalna.
  • Każda nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą epsilonową.
  • Suma (mnogościowa) dowolnej niepustej rodziny liczb epsilonowych jest liczbą epsilonową.
  • Każda liczba epsilonowa jest nierozkładalna, to znaczy jeśli jest liczbą epsilonową oraz , to .
  • Jeśli jest liczbą epsilonową, to
(a) dla każdej liczby ,
(b) dla każdej liczby ,
(c) dla każdej liczby .

Zastosowania[edytuj]

  • Dowód twierdzenia Goodsteina.
  • Liczby epsilonowe można zastosować do uzasadnienia następującego twierdzenia: istnieje nieskończenie wiele par liczb porządkowych takich, że (zauważmy, że wśród liczb naturalnych taką własność ma jedynie pary (2,4) i (4,2)). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby porządkowej (zob. arytmetyka liczb porządkowych) zachodzi równość . Istotnie, . Jeśli jest dowolną liczbą epsilonową, to dla oraz para ma żądaną własność. Istotnie:
.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]