Metoda Cranka-Nicolson

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda Cranka-Nicolson - popularna metoda uwikłana rozwiązywania znanych w fizyce i inżynierii równań różniczkowych cząstkowych metodą różnic skończonych.

Weźmy dla przykładu jednowymiarowe równanie dyfuzji:

Przybliżając w nim pochodne za pomocą ilorazów różnicowych na jednorodnej siatce punktów możemy je zapisać jako

lub

gdzie dolny indeks oznacza punkt na siatce a górny chwilę dyskretnego czasu. Używanie ostatniego intuicyjnego wzoru akumuluje jednak niestabilności.

Metoda Cranka-Nicolson polega na użyciu po prawej stronie średniej arytmetycznej z wyrażeń w czasie obecnym i w czasie następnym w celu stabilizacji rozwiązania tak aby równanie to stało się układem równań liniowych na wielkość w czasie następnym tzn.

czyli było w postaci uwikłanej.

Metoda Cranka-Nicolson zastosowana do równania Schrōdingera na siatce punktów równoważna jest metodzie Cayleya.